Естественные науки

Школьная задачка для тех, кому надоела ленивая школота, а хочется размять мозги.

Задачка была недавно здесь, автор утверждал, что ее задали в 7-м классе. Это не так, но школьных знаний достаточно. Между Москвой и Питером (650км) прорыли тоннель напрямую и пустили туда поезд катиться накатом. Трением, вращением Земли и изменением g с глубиной и разностью высот концов тоннеля - пренебречь. 1. Сколько времени поезд проведет в пути? 2. Насколько быстрее проедет поезд, если такой тоннель прорыть между Москвой и Ярославлем (260км)? 3. А если не пренебрегать изменением g и выбрать далекие города или вообще пробить тоннель с северного полюса до Южного? а слабо посчитать устно, на какое глубине окажется середина тоннеля Москва-Питер? (это уже не школа)
Наталья Арефьева
Наталья Арефьева
68 671
Решение первой задачи выписывать надо? А то мне лень.. . Но вообще-то длина маятника 6 000 000 м, период получается 6000000:10 = 600 000^1/2 = 775 с * 2 * 3 = 80 минут. Время в пути = 40 минут.

Ну и высота сегмента - по известной формуле, R-SQR(R*(R+(L/2)) -лень калькулятор включать. Тем более интегрировать или Вольфрам вызывать)))
Black Sarx
Black Sarx
90 553
Лучший ответ
Anya Lobanova В 1-й части вы навели меня на мысль решения, но у меня как-то по-иному. Мой маятник пружинный. Смотрю на сечение Земли, маятник "колебается" внутри канала. Амплитуда s= Rsinx, максимальная сила F= mgsinx. Жёсткость k= F/s= mg/R. Полупериод T/2= pi*sqrt(m/k)= pi*sqrt(R/g)= 3,142*sqrt(6370*10^3/9,807)= 2532 c= 42,2 мин, что полностью совпадает с результатом, приведённом в учебнике и полученном через сложные выкладки с интегралом!
Anya Lobanova Виноват. Да ведь я повторяю то, что вы написали. Это у меня из-за въедшейся торопки.
по поводу землю насквозь - получается гармонич осциллятор, у которого период T = 2*pi*(m/k)^0.5, соответственно сила F = -kx = -g*x/R * m, подставляем k в T = 2*pi*(R/g)^0.5 = 41,8 минуты

насчет езды наискось - с ходу туплю, смутно понимаю что получится то же самое (проекция силы тяжести с меняющимся g на направление тоннеля) , но это надо подумать

ну и наконец насчет максимальной глубины тоннеля мск-питер: угол получается 640 км/ (6400 км) = 1/10, половинный угол = 1/20, он же равен синусу, значит косинус = (1-1/400)^0.5. Производная (x^0.5)' = 0.5*x^-0.5, при x=1 производная = 0.5, значит наш косинус = 1-0.5/400, то есть разница с единицей и будет искомая величина, то есть 1/800 множим на радиус 6400км, получаем 8 км
Зият Ахметов
Зият Ахметов
53 489
Об этом я давным-давно читал у Перельмана (боюсь, что и Жюль Верн затронул эту тему) . Сомневаюсь, что это - школьная задача (хотя интегралы сейчас проходят и в школе) . Хотел посидеть над решением, но благо, нашёл в одном старом учебнике по теормеху: 42 мин 11 с, между какими бы ни было точками Земли не был прорыт этот тоннель. Насчёт глубины тоннеля. h= R(1-cosx) (1), где х - половина "углового расстояния" между городами. S= 650 км (в Инете 634,11 км) меньше радиуса Земли R= 6370 км около 10 раз; значит, х составляет примерно 1/20/(2п) = 1/120 часть окружности - около 3о. Можно для cos ограничиться первыми двумя членами ряда Маклорена: cosx= 1-x^2/2. Учитывая это, а также равенство S=2xR в (1), после небольших выкладок получаем: h= S^2/(8R). Примем S= 640 км, R= 6400 км; тогда слабо или неслабо (ещё лучше по выражению Леонида - "не штука") рассчитать и устно: h= 8 км.
Надежда Басманова
Надежда Басманова
66 571
Надежда Басманова См. комм. выше.
Надежда Басманова А, Михаил, задача действительно оказалась школьной.
Наталья Арефьева интегралов не надо. в школе есть тема колебания и мат. маятник - это в точности он. Более того, у матмаятника мы уравнение делаем приближенным, здесь оно сразу точное. ну а прогиб я считал в лоб как разность радиуса и катета, приближая разложением (1-х) ^(1/2). Примерно то же по трудоемкости и точно то же по результату.

Похожие вопросы