Помогите пожалуйста ! Незнающих прошу не писать... ))))

В математическом анализе есть понятие предел функции и предел последовательности. Меня интересует предел функции в точке. По теории, в пределе аргумент функции никогда не равен числу, к которому устремляют аргумент, и функция не равна своему пределу, а лишь только стремится к нему. ( ну на практике, для нахождения определённого предела, конечно же подставляют значение к которому устремляют аргумент в функцию и получают предел, а потом говорят что это только устремление). Вот вопрос: Почему потом знак равенства в пределе становится полноправным равенством? Т.е. сам знак "равно" , в пределе - это чисто формальное равенство, относящееся к предельному переходу ( функция не может равняться бесконечности , к примеру), но если функция непрерывна, т.е. предел есть число ( при аргументе стремящемся к числу ( возьмём по стандарту) , то знак равенства почему-то перестаёт быть формальностью, а становится абсолютно чётким равенством. К примеру : В вычислении и теории производной. Там предел отношения приращения функции и приращения аргумента, которое при малом приращении аргумента стремится к угловому коэффициенту ( тангенсу угла наклона касательной) , но по ВЕЗДЕ, где я только не встречал, это идёт как равенство: в физике, в самих же задачниках к теории ( Берман, Демидович) - а ведь это только стремление отношения к тангенсу, а не равенство !!! Поэтому и вопрос: Почему так делают и как это объяснить ???