Могут ли быть в такой точной науке как геометрия р а с п л ы в ч а т ы е понятия, которыми пользуются уже тысячелетиями

Наташа, хочу поддержать ответ Лёки: в ЛЮБОЙ аксиоматической науке (и, кстати, в физике тоже) , кроме аксиом существуют базовые понятия, адекватное определение которым дать невозможно.
Причём если в физике такое положение существует всегда, но при этом исторически преходяще (эти понятия сдвигаются по мере развития) , - то в геометрии оно абсолютно.
И треугольник (или МНОГОУГОЛЬНИК) - именно такое понятие.
А Ваше сравнение с прямоугольником - абсолютно некорректно. Прямоугольник - разновидность многоугольника (четырёхугольника) и потому его надо сравнивать именно с определением, например, прямоугольного треугольника, но никак не треугольника вообще. Так что ваш "феноменологический анализ" - просто ОШИБКА, вы сравниваете огурец с овощем :-)
И, кстати, у Василиска очень хорошее определение IMHO

Теперь по сути основного вопроса.
Да, в математике вообще, равно как и в геометрии в частности, ОБЯЗАТЕЛЬНО будет несколько (и задача - минимизировать их количество) таких базовых понятий на правх аксиом. Здест Игорь Прохоров абсолютно прав.
Никому не удастся, не порождая других неопределённых сущностей, СТРОГО определить точку. Или - единицу (что то же самое) . Классическое определение МНОГОеугольника замкнуто само на себя, также как и определение точки. Если вы именно это имели ввиду под расплывчатостью - то таки да, есть расплывчатые определения. Но приведённое ваше определение расплывчатости я НЕ ПОНЯЛА, по мне - это просто БЕССМЫСЛЕННЫЙ НАБОР СЛОВ. Вот потому как раз, что математики стараются минимизировать до предела и формализовать число таких "расплывчатых" (то есть замкнутых на себя) базовых определений, а философы наоборот, любят их ПЛОДИТЬ без меры, причём что ни философ - то СВОЯ система определений... .

А что именно Вас смущает? Точка, прямая, отрезок, окружность?? ? Что тут расплывчатого? Аргументируйте...

Вы просто не понимаете очевидных вещей. Может это не понятия расплывчатые, а ваше понимание? Задумайтесь над этим.

Расплывчатые понятия: конгруэнтность фигур (движение - не геометрическое понятие, а наложить фигуры можно передвинув их и нет гарантии, что при движении фигура не изменится) . Окружность - геометрическое место точек, расположенных на одинаковом расстоянии от фиксированной точки - центра. Расстояние можно ввести несколькими методами и получатся разные фигуры. "Геометрическое место" - вообще ничего не значит. Является ли отрезок многоугольником? Ведь любую внутреннюю точку можно считать вершиной развёрнутого угла. Много (очень много) понятий "подразумеваются", опираются на здравый смысл и не имеют чётких определений.
Достаточно попробовать решить простую задачу.
На плоскости дана прямая и две точки по разные стороны от неё. Докажите, что отрезок, соединяющий точки пересекает прямую.

Не очень понятно, что подразумевается под словом "р а с п л ы в ч а т ы е".)))
Треугольник как раз таки имеет чёткое определение.. .
Но есть и такие понятия в геометрии, которые определить невозможно, поэтому эти понятия, являющиеся базовыми, ОСНОВНЫМИ для геометрии, называются аксиоматические термины.
Ну, а почему они не определены, понятно из слова аксиома...

Хотя цель вопроса, очевидно, потроллить, хотел бы, тем не менее, вступиться за геометрию. Она этого достойна, т. к. именно она (а не ублюдочное порождение интеллекта, называемое философией) показала человечеству, как надо бороться с расплывчатостью. Будучи (первой, кажется) аксиоматически построенной наукой, планиметрия ПРОТИВОПОЛОЖНА расплывчатости. Ничего расплывчатого в понятии треугольник НЕТ

Любая точная наука имеет свои пределы, за которыми её законы не действуют. Есть Геометрия Евклида, а есть Лобачевского. Даже классические законы физики в определённых местах вселенной перестают действовать.

если для вас "треугольник" - расплывчатое понятие, то вашему вопросу место не в этом разделе, в "Домоводстве"

ПС. Spathi совершенно прав

А зачем тебе такое понятие??