Предел последовательности, обьясните определение от куда там все обозначения

Если есть предел, и это - некоторое число а (т. е. на бесконечности члены последовательности все ближе и ближе к а) , то для любого числа є>0 (очень маленького и еще меньше) найдется номер N, начиная с которого (пишут для всех n>=N), разница по модулю |an - a|<є,
т. е. n-й член (an) все ближе и ближе к а - предельному значению.
Частный случай, когда члены последовательности стабилизируются, начиная с некоторого номера, очевидно, удовлетворяет: |a - a|=0<є.
----
Вообще говоря, логика этого определения взялась не просто так: это следствие определения точной верхней (нижней) грани множества, которую вводят исходя из таких соображений:
пусть множество A (бесконечное, конечное) ограничено сверху (есть число С такое, что все члены мн-ва меньше С) . Тогда есть Точная Верхняя грань (supA), потому что - если есть такой элемент,
С1 меньше C, такой, что все члены множества меньше С1 - то он новая верхняя грань, и так далее, пока не дойдем до такого Ск, что либо он сам принадлежит множеству (максимум) , тогда мы не можем между ним и другими членами вставить число (потому что он- элемент множества, который уже будет больше) , или будет такой, что к нему элементы множества будут приближаться бесконечно близко - для любого числа є между Ск и Ск-є , будут элементы из A, т. е. никакое меньшее число уже не подойдет: Пишут, найдется а из А, такой, что |Ск - а|<є

------
Последовательность не имеет предела - значит, какое бы є > 0 мы не взяли, какой бы номер N не взяли, всегда найдется член последовательности с номером n>N, такой, что "отскочит в сторону": |an - a|>є, (называется "обернуть кванторы" - мы все "для всех" превратили в "найдется", "найдется" - в "для всех" и знаки неравенства в противоположную сторону - получили отрицание утверждения)
--------
Пределом последовательность будет бесконечность, если - для любого числа С, сколь угодно большого, будет существовать номер, начиная с которого, все члены больше С
--------
Последовательность может и расходится (не иметь предела) , но иметь частичные пределы - можно выделить подпоследовательность (часть членов) , которая будет сходится -
теорема Больцано-Вейерштрасса гласит, что такая всегда найдется, если последовательность ограничена. Например, (-1)^n - не имеет предела (все время 1,-1,1,-1...), но подпоследовательности (1) и (-1) - имеют
--------
Что такое фундаментальная последовательность и Критерий Коши нужно хорошо выучить, это важно в метрических пространствах - там его прийдется 100раз передоказывать для разных метрик, нужно хорошо себе представлять, как это работает
--------
разница чисел по модулю - это стандартная метрика (расстояние) на числовой оси, правильнее будет не очень на этом зацикливаться (см. пред пункт) , потому, что это расстояние могут мерять и по-другому (метрические пространства)
--------
для функций есть подобные утверждения (непрерывность (особенно по Гейне) , равномерная непрерывность) , так что, если это не понять, дальше все будет совсем непонятно