объясните девятикласснику что такое интеграл и (не) определёный интеграл. или скажите, что перед этим надо знать

Самое главное, что надо знать про интеграл -- это бесконечная сумма бесконечно малых величин.

Все задачи с интегралом по сути сводятся к нахождению площади под кривой, но для понимания можно рассмотреть простенькую задачу -- допустим, у нас движется тело, причём движется таким образом, что его скорость зависит от времени (тобиш имеется зависимость v(t)). Например, чем дольше тело летит, тем больше его скорость. . пусть для ясности v(t)=t², и движение своё тело начало в момент времени t=0. Как в этом случае найти расстояние, которое прошло тело за 5 секунд? Единственное, что мы знаем -- тело, летящее с постоянной скоростью v, за время t проходит расстоянии v*t. А тут скорость тела постоянно меняется, и совершенно непонятно, на что же умножать время чтобы получить пройденное расстояние. . Если мы просто умножим t=5с на v(t)=5^2=25 м/с, то получим расстояние 125м, которое прошло бы тело, если бы оно ВСЁ время летело со скоростью 25 м/с, а это не так. Очевидно, тело прошло меньшее расстояние, раз раньше оно двигалось медленнее. .

Для решения проблемы поступаем следующим образом: разбиваем весь процесс на бесконечно малые во времени отрезки и говорим, что внутри данного отрезка тело движется с постоянной скоростью (проверить справедливость данного утверждения можно сравнив скорость в момент 1с и 1.001с, затем 1с и 1.000001, и так далее, понимая, что бесконечно близкие друг к другу числа это когда нулей бесконечно много. Скорости в итоге действительно выходят одинаковыми в начале и в конце бесконечно малого промежутка времени)

Соответственно, бесконечно малый отрезок времени обозначаем как dt, и говорим, что с момента t за бесконечно малое время время dt тело пролетело расстояние v(t)*dt (по сути это и есть v*t). То есть за первый бесконечно малый промежуток времени тело пролетело v(0)*dt метров, за промежуток времени между t=3 и t=3+dt тело пролетело v(3)*dt и так далее. Очевидно, суммарно тело пролетело растояние, равное сумме всех бесконечно-малых расстояний на промежутке от 0 до 5 секунд. Эта операция суммирования всех бесконечно малых величин на заданном отрезке и называется интегралом (определённым интегралом в данном случае) . Тобиш ясно, что тело прошло s=∫v(t)dt (от нуля до 5 секунд) метров, или, поскольку мы знаем, как меняется скорость со временем -- s=∫t²dt (от 0 до 5). А что в итоге получится -- можно посмотреть в таблице интегралов:
s=t³/3 (от 0 до 5) = 5³/3-0³/3=41,7 м.
(этот же интеграл был бы неопределённым, если бы мы не искали пройденное за 5 секунд расстояние, а искали бы зависимость в общем виде пройденного от нуля расстояния от времени: s=t³/3 -- и есть такая зависимость, если тело начало своё движение при t=0)

Если, кстати, нарисовать график v(t) и проделать всё вышеописанное, можно наглядно убедиться, что расстояние S к моменту времени t=5 есть площадь под графиком t³/3 от нуля до пяти секунд.

Я рассмотрел только нахождение расстояния при движении тела с переменной скоростью, но такие проблемы встречаются у расчётчиков везде, и, возможно, даже чаще чем простое сложение или умножение. .

(Про константу интегрирования читай в дальнейшем, меня в школе её ВАЖНОСТЬ только оттолкнула от понимания сути. Тут только стоит сказать, что производная от константы равна нулю, а интеграл от нуля равен константе, поэтому всякую интегрируемую функцию можно записать как f(x)+0, получив на выходе ∫f(x)+0dx=F(x)+c)

Интеграл это НЕ нахождение первообразный.

Неопределенный интеграл равен первообразной С ТОЧНОСТЬЮ ДО КОНСТАНТЫ. Это очень важно. Определенный интеграл можно выразить как площадь под кривой, выраженной заданной функцией на определенном отрезке. Для школы этого достаточно.

Перед этим нужно четко знать следующие понятия:
1)Функция и её график
2)Пределы (lim)
3)Дифференциал
4)Производная
5)Первообразная

Для нешколы интеграл в общем случае это СУММА последовательности бесконечно малых величин. В математическом анализе есть
точное определение, но вы его всё равно не поймете имея уровень знаний 9-го класса.

Неопределенный интеграл это совокупность всех первообразных.

интеграл это сумма бесконеяного числа бесконечно малых величин, имеет смысл площади фигуры между графиком функции и осью ОХ ограниченной прямыми х1=а и х2=b. величины а и b называются пределами интегрирования.

Площадь под кривой, таблицу производных и первообразных

в алгебре интеграл -- аналог суммы последовательности
в геометрии определенный интеграл -- площадь части графика функции (см. ссылку)

Интеграл это нахождение первообразной. Вам необходимо знать понятие функции, предела функции, производная (дифференциал).