Движется ли электрон внутри атома? Что его приводит в движение?

Да, электрон движется в атоме.
В движение его приводят законы сохранения и принцип Паули.
1. Закон сохранения момента вращения. Электрон имеет только половину кванта вращения (спин 1/2). Поэтому у него невозможно отобрать его собственное вращение. Можно только развернуть это вращение в другую сторону. А остановить собственное вращение электрона невозможно.
2. Принцип Паули. Электроны на верхних орбиталях вращаются вокруг ядра. Они не могут перейти все вместе на свой нижний энергетический уровень, где нет такого вращения, так как электроны это фермионы (частицы с полуцелым спином) . Для таких частиц работает статистика Ферми-Дирака, которая подчинена принципу Паули, запрещающему фермионам находиться в одном и том же энергетическом состоянии.

Поскольку у электрона есть момент количества движения, по моему мнению, можно считать, что движется. Однако это движение не похоже на движение макроскопических тел. Как модель можно представить, что электрон все время возникает и исчезает в разных точках пространства внутри атома, так что это не классическое движение. Электрон не перемещается между этими точками. Благодаря этому он может оказываться даже по другую сторону непроходимого при обычном движении для электрона барьера, что широко используется в электронике. Или даже возникать и исчезать в ядре атома - волновая функция орбитали даже внутри ядра ненулевая.

И всё таки электрон двигается по какой-то орбите вокруг ядра, пусть даже эта орбита не правильной формы. А вот какая сила заставляет электрон двигаться? Дело в том, что в природе нет абсолютного нуля, следовательно какое-то количество тепла, то есть электромагнитной энергии присутствует, вот эта энергия и заставляет двигаться электрон.

Не совсем, скорее нет: он просто находится в том или ином сосотоянии. Так что ничего его в движение не приводит.

Но, даже если бы и двигался, зачем нужно что-то особенное, чтобы привести его в движение? Напротив: нужно прилагать силу, чтобы движение прекратилось.
Или законы Ньютона уже вычеркнули из школьной программы?

Законы классической физики в области микромира не работают.

движение электрона в атоме - это чисто классическое понятие и поэтому не верное. взаимодействие атома с ядром описывает квантовая электродинамика на языке вероятностей.

Может быть, электроны приведёт в движение электрический ток, не?

Электро́н (от др. -греч. ἤλεκτρον — янтарь [2]) — стабильная, отрицательно заряженная элементарная частица, одна из основных структурных единиц вещества. Является фермионом (то есть имеет полуцелый спин) . Относится к лептонам (единственная стабильная частица среди заряженных лептонов) . Из электронов состоят электронные оболочки атомов, где их число и положение определяет почти все химические свойства веществ. Движение свободных электронов обусловливает такие явления, как электрический ток в проводниках и вакууме.

А́том (от др. -греч. ἄτομος — неделимый) — наименьшая химически неделимая часть химического элемента, являющаяся носителем его свойств [1]. Атом состоит из атомного ядра и электронов. Ядро атома состоит из положительно заряженных протонов и незаряженных нейтронов. Если число протонов в ядре совпадает с числом электронов, то атом в целом оказывается электрически нейтральным. В противном случае он обладает некоторым положительным или отрицательным зарядом и называется ионом. Атомы классифицируются по количеству протонов и нейтронов в ядре: количество протонов определяет принадлежность атома некоторому химическому элементу, а число нейтронов — изотопу этого элемента.

Электроны в атоме
Основная статья: Атомная орбиталь
При описании электронов в атоме в рамках квантовой механики, обычно рассматривают распределение вероятности в 3n-мерном пространстве для системы n электронов.
Электроны в атоме притягиваются к ядру, между электронами также действует кулоновское взаимодействие. Эти же силы удерживают электроны внутри потенциального барьера, окружающего ядро. Для того, чтобы электрон смог преодолеть притяжение ядра, ему необходимо получить энергию от внешнего источника. Чем ближе электрон находится к ядру, тем больше энергии для этого необходимо.
Электронам, как и другим частицам, свойственен корпускулярно-волновой дуализм. Иногда говорят, что электрон движется по орбитали, что неверно. Состояние электронов описывается волновой функцией, квадрат модуля которой характеризует плотность вероятности нахождения частиц в данной точке пространства в данный момент времени, или, в общем случае, оператором плотности. Существует дискретный набор атомных орбиталей, которым соответствуют стационарные чистые состояния электронов в атоме.
Каждой орбитали соответствует свой уровень энергии. Электрон может перейти на уровень с большей энергией, поглотив фотон. При этом он окажется в новом квантовом состоянии с большей энергией. Аналогично, он может перейти на уровень с меньшей энергией, излучив фотон. Энергия фотона при этом будет равна разности энергий электрона на этих уровнях (см. : постулаты Бора) .
Современная модель атома является развитием планетарной модели. Согласно этой модели, ядро атома состоит из положительно заряженных протонов и не имеющих заряда нейтронов и окружено отрицательно заряженными электронами. Однако представления квантовой механики не позволяют считать, что электроны движутся вокруг ядра по сколько-нибудь определённым траекториям (неопределённость координаты электрона в атоме может быть сравнима с размерами самого атома) .
Химические свойства атомов определяются конфигурацией электронной оболочки и описываются квантовой механикой. Положение атома в таблице Менделеева определяется электрическим зарядом его ядра (то есть количеством протонов) , в то время как количество нейтронов принципиально не влияет на химические свойства; при этом нейтронов в ядре, как правило, больше, чем протонов (см. : атомное ядро) . Если атом находится в нейтральном состоянии, то количество электронов в нём равно количеству протонов. О

Нас всех вводят в заблуждение Нам всегда рисуют на доске двумерную модель: круг и две точки. На сомом деле пространство это муравейник сплошь пронизанный сверх частицами. Поэтому между атомом и электроном всегда пролетают сверхмалые частицы заметьте имеющие массу. Я был на втором курсе института когда вместо круга нарисовал замкнутую синусоиду вместо круговой орбиты именно пролетающая частица между атомом и электроном то притягивает благодаря лишней массе электрон к атому то его отталкивает находясь на второй орбите. Возможно что это подсказка но ускоритель в классическом его представлении это попытка представить в увеличенном масштабе модель вращающегося электрона с детекторами по трем сторонам для фиксации осцилляций его орбиты. Вообще вращение электрона это насос который сам по себе качает через себя пространство поэтому не удивляйтесь иногда возникающем спонтанно запахам (вспомните миро точение икон). Это само пространство качает через себя. Я к примеру всегда чувствую запах грибов (из перпендикулярного пространства видимо). Если моё объяснение Вам не нравится придумайте своё. Вселенная бесконечна и любая модель объясняющая её найдет своё отражение.