Я знаю, что производная е^x равна e^x, но почему? Объясните подробней, а то вам же будет хуже!

Ладно, слушай. Вот например, такое моё доказательство, без лишних строгостей. Опираемся на доказанный в математике факт, что число е есть предел выражения (1+1/n)^n при n-> бесконечность.
Теперь рассмотрим функцию u(n,x)=(1+x/n)^n. Её предел есть e^x - докажешь сам.
Но производная от u(n,x) вычисляется легко, по правилам сложной ф-ции:
(d/dx)u(n,x)=....=(1+x/n)^(n-1)=u(n,x)/(1+1/n).
Как видим, получается почти та же ф-ция, только степень понизилась с n до n-1.
Однако предел этой ф-ции - снова e^x, что и треб. доказать.
Конечно, это не доказательство, скорее показательство: пропущены тонкие моменты. Но в физике почему-то эти тонкие моменты практически никогда роли не играют.

что значит "почему"???

должна существовать функция с такми свойством - вот ее так и назвали.

Чо объяснять-то? Производная a^x равна ka^x. Найдется такое а, при котором k=1. Оно и нашлось. Назвали е.

Все просто.
Задача. Найти функцию, первая производная которой равна этой самой функции.
dy/dx=y
Разделяем переменные
dy/y=dx
ln y= x+lnC
y=Ce^x
Вот так.

Горкин: определение производной есть в учебнике. Подставь туда e^x. Запутаешься - спрашивай. А смысла отвечать человеку, не способному открыть учебник, я не вижу - не в коня корм.
Левин: почему это вдруг "должна"? Кому должна? Да, существует.. . но не потому, что должна. Просто вот так оно и выходит.
Гаврилов: бессмысленный ответ, влекущий закономерный вопрос: а почему производная a^x равна ka^x?