для чего нам нужно уравнение касателдьной к графику? что это дает? спасибо

в общем случае не знаю, но примеры придумать могу.

Вы едете на американских горках, или на качелях, или на карусели. Описываете в пространстве график своей коордиинаты. Вдруг ремни порвались, горка исчезла, карусель испарилась. Вы летите по уравнению касательной к графику, по которому только что ехали.

Брызги с колеса срываются по касательной. Если вы едете на велосипеде, и у вас вся спина грязная - то теперь будете знать почему.

А то же самое, что и асмптота - помогает точно построить график.
Например f(x)=sin(x), в точке х=0 - как построить? Понятно, что f(0)=0, и она там примерно прямая в небольшой окрестности. А под каким углом эта прямая проходит? Горизонтально? Вертикально? Под углом 30 градусов?
Ответ есть - он один и точен - под углом 45 градусов. Чтобы узнать его - надо провести в этой точке касательную (график, соотвественно пойдёт вдоль касательной) .
(sin(x))' = cos(x)
при x=0 cos(0)=1
Значение производной в точке это угловой коэффициент k в уравнении касательной y=k*x+b
b здесь не важно, хотя легко получается из условия того, что касательная проходит через точку (0;0).
Известно, что такое уравнение описывает прямую с углом наклона к оси ОХ а таким, что tg(a)=k
k=1 => tg(a)=1 => a=45 градусов.

Другой пример f(x)=x^3. Аналогично f'(x) = 3x^2. В нуле производная равна нулю - значит график проходит эту точку изгибаясь до горизонтали, а не под каким-то другим углом.

А вообще касательная может возникать и сама по себе в разных задачах по математике и физике.

>^.^<

уравнение касательной к графику дает возможность исследовать график без употребления производной. точнее с помощью ураввнения касательной к можно найти промежутки на которых график возрастает или же убывает. . ну и т. д. и т. п.

Это же элементарно, Ватсон. Оно нам нужно чтобы найти касательную. Хотя лично вам оно может и ни к чему.