У тела приближенного к скорости света неограниченно возрастает масса, а масса источник гравитации, она тоже возрастёт?

Гравитирует только масса покоя. Ящик, наполненный фотонами
притягивает также, как и пустой :)

Вообще-то масса не растет от скорости. Растет импульс. Когда-то на заре теории относительности в популярных книжках была мода относить в импульсе коэффициент Лоренца к массе и говорить о массе покоя и массе с учетом скорости.

Но это скорее неверно. И на гравитацию это не влияет, и вообще получается что масса зависит еще и от направления! Типа она уже вектором становится.

В серьезных изложениях масса одна и от скорости не зависит. По сути, она же - потенциальная энергия тела.

Это только Эйнштейн так думал. Но он заблуждался.

Если масса является источником гравитации, то она со временем полностью источиться.

В современной теоритической физике принято положение, что масса тела не меняется при его движении и с точностью до множителя с равна энергии, содержащейся в покоящемся теле.

Коль у теории относительности была заря, то будет и закат! Тут некоторые
на ходу пытаются поправить дедушку Эйнштейна: мол на самом деле масса от скорости не зависит, а зависит импульс=mv! Но причем здесь импульс, когда речь о массе.
Если есть масса покоя, то есть и масса "непокоя". Чем-то они друг от друга отличаются? Когда масса зависит еще и от направления - это и есть тупик и закат ТО.

Тут есть один нюанс. Существуют две фундаментально разные массы - инертная масса и гравитационная масса. Первая "сопротивляется ускорению", а вторая - "притягивается к другим телам". В современной физике они считаются (постулируются) тождественно равными настолько, что даже обозначаются одной буквой. Хотя раньше для обозначения разных масс использовались разные символы.