Если определены направления векторов перед и верх, то можно ли однозначно определить направление вектора лево?

Если есть поле размерности n, то как его расширить? построить
n+1 координату т. о. чтобы была не зависима. Есть в математике такая штука –
тензор, антисимметрический.
Через него и можно ( векторное – частный случай) . Причем
отражает реалии . Пример – световая волна . Если от Е идти к Н, то k( волновой
вектор) покажет третью координату.
И не зависит от тройки :) Так и разобраться можно .
В математике и теоретической физике тензор называется антисимметричным
по двум индексам i и j, если он меняет знак при перестановке этих
индексов:
Tijk… =- Tjik

Формально - при помощи векторного произведения.

Для этого нужен солнечный день. В полдень стоишь лицом к Солнцу, если находишься на северном полушарии. Там, где взошло Солнце - лево. Если на южном полушарии - стоишь задом к Солнцу. . .И на запястье соответствующей руки надеваешь браслет с надписью "левая". Впрочем, Буриданов осёл (читайте в Википедии) , стоя посередине двух стогов сена, умер с голоду, так и не решив, к какому подойти - левому или правому.

Если в нашем векторном пространстве заданы норма и скалярное произведение, тогда можно ввести понятие ортонормированного базиса (базис, в котором любая пара векторов имеет скалярное произведение 0 и любой вектор имеет норму 1).
Тогда для любых двух ортонормированных базисов (в сколько-угодно-мерном пространстве, не только трехмерном) мы сможем сказать, эти базисы "одинаковой право-левости" (киральности) или разной. Это просто: матрица перехода от одного базиса к другому будет иметь определитель либо +1, либо -1.
Это будет деление на классы эквивалентности: класс "левых базисов" и класс "правых базисов", но деление на левые и правые будет относительным, это как электрический заряд положительный и отрицательный.