какова будет гравитация в центре земли?

ничего, сами же написали хорошее определение центра: куда стремиться гравитация. То есть из любой другой точки телу тянет куда-то к центру, а в самом центре уже никуда не тянет. Если тянет - значит это не центр, надо подвинуться туда, где тянет.

Полезно вспомнить теорему Ньютона "о скорлупе". Ее первую половину мы все учим в школе: сфера и шар притягивают тела, находящиеся вне ее так, как будто вся масса собрана в центре. А есть еще и вторая половина: сферическая оболочка (полая сфера) внутри себя не притягивает ни в какой точке полости. То есть каждый кусочек сферы притягивает к себе, но это притяжение полностью компенсируется другими кусочками, находящимися с другой стороны.
Повторю - не только в центре, но в любой точке полости!

А это значит, что если разделить шар мысленно на сферы с общим центром, то точку внутри земли будут притягивать только те, что лежат глубже. Если спуститься на 1000км вглубь, авс будет притягивать к центру так, будто есть только то. что лежит глубже 1000км, то что лежит снаружи вас притягивать не будет. Ну а в центре вообще ничего притягивать не будет.

Нулевая, конечно. С чего бы ей быть другой?

В центре Земли сила тяготения равна 0. Это доказывается математически. Впрочем, это и очевидно: из-за симметрии, силы притяжения от всех частей шара компенсируют друг друга.

Не думаю, а знаю. Будет в невесомости. А как иначе, если его во все стороны одинаково тянет?

А чего тут думать? Возьми да посчитай сам.
Если не вдаваться в подробности, то в центре сферы/шара с однородным распределением массы (или с плотностью однозначно зависящей только от радиус-вектора) гравитация равна нулю.

Только вот земля не однородна и не шар.