как и кем было доказано, что гравитация не должна влиять на скорость света ?

Кто Вам сказал, что не должна? Скорость света постоянна лишь в инерциальных СО, а в ОТО она зависит от гравитационного потенциала. Ещё в 1921 г. В. Паули писал в своей знаменитой монографии "Теория относительности", что об универсальном постоянстве скорости света в пустоте не может быть речи.

А экспериментально скорость света определяют в условиях, когда влияние на неё гравитации пренебрежимо мало.

Влиять - это отклонять.
Тормозить или ускорять свет невозможно, его скорость в любой системе отсчета равна С.

один из постулатов ТО говорит об абсолютности скорости света, т. е. говорит что она не от чего не зависит. постулаты доказывать не надо, на то они и постулаты. их справедливость проверяется по теории в основе которой они лежат. если выводы теории совпадают с наблюдениями и экспериментами, то она верна, если нет, то она требует усовершенствования или замены на новую теорию. ТО проверена до 14 знака после запятой. механика Ньютона справедлива до 7 знака, именно поэтому ее (когда требуется точность выше 7 знака) заменили на ТО. ТО говорит что в гравитационном поле изменяется частота света v (уменьшается) и пропорционально длина волны L (увеличивается) , а скорость с=Lv остается неизменной.

Метр по определению измеряют скоростью света. И в определении записано на сколько надо разделить пройденное расстояние светом, чтобы получить метр на этом участке. И не важна при этом сама скорость света. Поэтому количество метров за секунду свет пролетает везде одинаково, хоть ты там что ни делай.

Сами же себе и противоречите.

скорость света тоже зависимая величина
и зависит от плотности материи вселенной, она тоже хоть и немного но колышется
есть физические модели в которых скорость света значительно отличается от скорости в вакууме .
например та же чёрная дыра
энергия и масса всего вокруг создают много вариантов физических моделей .
но точен только один