Почему в мат. логике хватает импликации, и и или, и эквиваленции для того чтобы делать доказательства?

Вообще-то достаточно одного штриха Шеффера, или одной стрелки Пирса.

Любую логическую операцию можно выразить через другие логически операции.

Потому что многие операции можно более длинно выразить через другие. На самом деле достаточно даже только одной операции ИЛИ-НЕ или И-НЕ.

Ха-ха-ха! Все вместе с тобой попались! Ответы выше правильны, даже сомнение в предыдущем ответе справедливо: а где единица?

Дело в том, что большинство привыкло к математической логике двух аргументов (переменных) , не считая самоопределенных констант 1 и 0. Но в логике многих аргументов, которая, конечно, сводится в конечном итоге к логике двух аргументов, самих функций значительно больше и там базовый набор не сводится к стрелке Пирса или штриху Шеффера. Для трех аргументов еще можно строить минимальный набор с помощью компьютера, а за этим пределом сложности резко нарастают, и прежде всего в части анализа, а не синтеза.

Но для начала набора из И-НЕ или ИЛИ-НЕ двух аргументов будет достаточно: дальше идут только те, кому это нужно позарез...

Вы сейчас о чем именно спросили? Есть "логика первого порядка", "логика высказывний" и "критерий полноты Поста". Можете погуглить, чтобы точнее вопрос задать.
Почему иногда берут одну полную систему ф-ций в качесиве базиса, иногда - другую, я не знаю. Наверное, по историческим причинам, и еще чтобы математика была понятнее, она и так сложная.

С СФЭ, например, берут конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание. Хотя тоже можно было бы штрихом Шеффера обойтись.

Но заметьте такой момент: в Вашем конкретном случае все перечисленные Вами ф-ции сохраняют единицу. Это значит, что при помощи этих ф-ций нельзя получить ложь. Я не знаю, что Вы хотели сказать своим вопросом, но сказали именно то, что сказали.