Как происходит увеличение площадей участков плоской фигуры при проекции на сферическую поверхность?

А никак.
Какие были участки плоские, такие и будут, и площадь их не иеняется.

Меняется площадь проекции. этих участков, причем неоднородно.
1. Если участок очень небольшой величины проецируется так, что осевая линия проекции направлена в центр сферы или проходит близко к центру, то площадь параллельной проекции почти не изменяется и зависит от sin угла наклона исходного участка к линии проекции. Sп = So * sin A
Назовем такой участок центральным вне зависимости от угла.
2. Элементарные (небольшие) участки, более отдалённые от осевой линии, проецируются на сферу с растяжением, приблизительно в 1/cosP, где P < 90 угол падения на сферу проекционного луча.
Это при параллельном проецировании и не зависит от положения тела снаружи или внутри сферы.

3. При радиальном проецировании площадь проекции любого элементарного участка сильно зависит от расстояния самого участка от центра сферы и может оказаться значительно больше или значительно меньше площади самого
участка. При этом площадь центрального участка в случае А=90 рассчитывается так же как в п. 1, но с учетом коэффициента подобия. Участки в окружении центрального, к сожалению, всегда имеют другой коэффициент подобия, который надо рассчитывать отдельно для каждого участка.

В принципе эта задача грамотно решается только с применением интегралов..

Происходит до некоторого предела, после которого начинается уменьшение. Бесконечная по площади плоскость спроектируется на полусферу. Возможно, что увеличения совсем не произойдет. Возьмите шарик диаметром 1см и спроектируйте на него 1мв м и замерьте площади.

Прогибается проекция как простыня вот и увеличивается незначительно площадь

Там все плохо, стереографическая проекция не сохраняет отношения площадей. Если бесконечность не выколота (сфера Римана в комплексном анализе), то можно вообще бесконечную площадь (сектор плоскости) спроецировать на конечную (spherical wedge).
Формулы преобразованисфера римана проектироаниея координат даны, в общем случае надо интегрировать по площади фигуры, элементарная площадь на плоскости походу деформируется вот так
dS(x,y) =4* (1 + x^2 + y^2)^(-2) dxdy

EDIT: поправил ошибку в формуле!