Потенциальная энергия. Работа

Вы вчера горизонтальный лежащий на столе однородный стержень ставили вертикально, там центр масс был, не изучали еще интегралы и производные.

Делаем так: есть закон Гука. Сила натяжения растет прямо пропорционально величине (длине) упругой деформации [пружины?]. Раз прямо пропоционально, то можно взять среднюю силу натяжения и использовать ее для рассчета работы/потенциальной энергии.
Среднюю силу умножаем на расстояние - получаем работу. Средняя сила натяжения - это половина максимальной получается. То есть kx/2 - средняя сила натяжения, x - расстояние. Умножаем, получаем kx^2/2. Ну а можно почти честно взять интеграл - см. площадь под графиком выше.

dA=Fdx
F=kx
dA=kxdx
А теперь найдите интеграл от 0 до х.

Нарисуйте график возрастания силы упругости от величины деформации.

А теперь найдите площадь под графиком. Поскольку под графиком у вас окажется треугольник, его площадь будет в два раза меньше прямоугольника в тех же пределах.

Поэтому и половина.

http://fizportal.ru/physics-book-27-4 тут ответ

Потому что работа это ИНТЕГРАЛ от F*S

Сила натяжения пружины равна F=kx. (x-удлинение пружины)
Потенциальная энергия равна работе, которую может совершить пружина.
Eп=A
Работа определяется как
ΔA=F*ΔS(ΔS - участок пути)
Просто умножить kx на x(=S это обший путь) нельзя, потому что сила в каждой точке пути РАЗНАЯ. Она изменяется от F=kx до F=0 и зависимость ее линейная поэтому надо брать среднее значение.
A=Fсред*S=(kx+0)/2*x=kx^2/2
Eп=kx^2/2