Математический парадокс правильно?

Нет. "если к 0,(9) прибавить 0,(1), то будет" 1,(1)

.

Общая формула для X<1 для вычисления суммы бесконечного ряда

sum(X^k) = 1/(1-X),

где индекс k пробегает значения от 0 до бесконечности.

Получаем

0,(9) = 9/10 + 9/100 + 9/1000 + 9/10000 + .= 9*(1/10 + 1/100 + 1/1000 + .) = 9*(1/(1-9/10) - 1) = 9/9 = 1.

С помощью этой формулы легко найти, что, например,

0,34(9) = 0,35
76,2641(9) = 76,2642
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 = 1

.

что такое 0.99999...?

обозначим его
a = 0.9 + 0.09 + 0.009 + .

умножим его на 10:
10a = 9 + 0.9 + 0.09 + 0.009 + .

вычтем из второго первое:
9а=9 (остальное - сократится!)

Итак, 9а=9, а=1.

Все равенства тут - точные.
Так что 0.(9) ТОЧНО равно 1

Если к 0,(9) прибавить 0,(1) получится 1,(1).

0,(9) не "практически" равно единице – оно в точности равно единице. Это просто две разные записи одного числа.

Парадокса тут нет-получаются незначащие ноли в периоде, которые просто отбрасываются

Не будет единицы... Вместо периода используйте дробь и найдете ошибку, возможно.

Про то, что 0,(9)=1 в точности, уже сказали выше.

Тем же методом легко показать, что 0,(1)=1/9 в точности:
x=0,(a)
10x=a,(a)=a+0,(a)=a+x
9x=a
x=a/9
(тут a - *однозначное* целое от 1 до 9)

В итоге получаем, что 0,(9)+0,(1)=1+1/9=10/9 в точности.

Если к конечному числу прибавить бесконечно малое, то результат будет тем же: бесконечно малое в точности равно нулю.

математика наука точная. здесь либо да либо нет.

Никакого парадокса. Что такого, что при прибавлении к 0,9 + 0,1 получается единица?