Можно ли опровергнуть аксиому ?

Аксиома сама по себе ничего не значит. И опровергать ее незачем (и нечего).

Теоремы выводятся из набора аксиом. Сами аксиомы формулируются в рамках метатеории (хотя эта метатеория может быть еще не достроена). Затем аксиомы могут уточнятся.

Система аксиом должна быть внутренне непротиворечива. Если из такой системы просто убрать одну из аксиом, получится также набор аксиом, не противоречащих друг другу. Если заменить одну из аксиом на противоречащую ей, как сделали Риман и Лобачевский с "пятым постулатом" (слово "аксиома" Евклид тоже употреблял, но в другом смысле), получится тоже система аксиом.

Согласно теореме Геделя (сформулированной в рамках метатеории), к внутренне непротиворечивой системе аксиом всегда можно добавить еще одну аксиому, не противоречащую оставшимся.

Кроме того, любой набор аксиом, не противоречащих друг другу, всегда можно заменить другим, из которого будет выводится то же самое.

Иначе говоря: никакая аксиома и никакой набор аксиом, в современном понимании, никогда не является "истиной". Это просто логический базис, - почти как базис векторов или система координат.

Можно только в том случае, если суметь доказать, что она несовместима с другими аксиомами.

Однажды Лобачевский пытался опровергнуть 5-й постулат Евклида, а закончилось изобретением новой геометрии. Так что, дерзайте: ищите - да обрящете.

Нет, на то она и аксиома.

Она сразу перестанет быть аксиомой.

Если аксиому можно опровергнуть, значит она не была аксиомой. Аксиома не имеет зависимостей и потому не может быть опровергнута.

Вот например, невозможно опровергнуть то, что параллельные прямые не пересекаются. Почему? а потому что "параллельность" - это базовое понятие. То есть прямые, которые не пересекаются принято называть параллельными.

также, например, "Через любые две точки на плоскости можно провести прямую и притом только одну" - отсюда следует, что прямой принято называть некую линию, проходящую через 2 точки. При чём, если мы провели 2 линии через эти точки, то одна из них точно не будет прямой. А если аксиому дополнить и написать "При чём прямая будет соединять эти точки по кратчайшему пути", то мы просто получим более точное определение прямой.

Аксиома, это то, что определяет базовые понятия в изучаемой области. Если аксиому "опровергли", то это значит, что просто некое понятие было подкорректировано, потому как его описание отличалось от его представления человеком (то есть понятие описали неправильно).

Можно.
Начни, например, с этой: a+0=a.

Аксиома это допущение, принятое без доказательств. Её можно просто отбросить и принять другую аксиому, но тогда придётся переделать всю теорию, которая на ней построена.

Нет