Два тела движутся со скоростями v1 и v2 соответственно.

Введём систему координат с началом в точке начала движения первого тела.
Пусть начальное расстояние между телами равно L.
Тогда уравнение движения первого тела:

x = x1(t) = v1*cos(α)*t
y = y1(t) = v1*sin(α)*t

а второго

x = x2(t) = L - v2*cos(β)*t
y = y2(t) = v2*sin(β)*t

Расстояние между ними в момент времени t равно корню квадратному из суммы квадратов разностей одноимённых координат:

S = sqrt ((x1(t) - x2(t))^2 + (y1(t) - y2(t))^2)

S = sqrt((v1*cos(α)*t - L + v2*cos(β)*t))^2 + (v1*sin(α)*t - v2*sin(β)*t)^2)

или

sqrt (v1^2*cos^2(α)*t^2 + L^2 + v2^2*cos^2(β)*t^2 - 2*L*v1*cos(α)*t + 2*v1*v2*cos(α)*cos(β)*t^2 - 2*L*v2*cos(β)*t + v1^2*sin^2(α)*t^2 - 2*v1*v2*sin(α)*sin(β)*t^2 + v2^2*sin^2(β)*t^2)

Под корнем 9 слагаемых. 1-е и 7-е слагаемое соберём по основному тригонометрическому тождеству, получим v1^2*t^2, 3-е и 9-е - также соберём, получим v2^2*t^2. Если соберём 5-е и 8-е - получим 2*v1*v2*t^2*cos(α + β). Если соберём 4-е и 6-е - получим -2*L*t*(v1*cos(α) + v2*cos(β). Наконец, 2-е слагаемое нельзя ни с чем собрать.

Тогда получим:

S = sqrt(v1^2*t^2 + v2^2*t^2 + 2*v1*v2*t^2*cos(α + β) - 2*L*t*(v1*cos(α) + v2*cos(β) + L^2)

Или так:

S^2 = (v1^2 + v2^2 + 2*v1*v2*cos(α + β))*t^2 - 2*L*(v1*cos(α) + v2*cos(β)*t + L^2

Имеем квадратичную функцию.

A*t^2 + B*t + C,

где

A = v1^2 + v2^2 + 2*v1*v2*cos(α + β);
B = - 2*L*(v1*cos(α) + v2*cos(β)
C = L^2

Известно, что квадратичная функция достигает экстремального (в данном случае - минимального) значения в вершине параболы, т. е. при t, равном абсциссе вершины параболы, t0 = -B / 2A.

А само это минимальное значение, т. е. кратчайшее расстояние между телами, ищется по формуле ординаты вершины параболы:

(4*A*C - B^2) / 4*A.

Поэтому:

S^2min = (4*L^2*(v1^2 + v2^2 + 2*v1*v2*cos(α + β)) - 4*L^2*(v1*cos(α) + v2*cos(β))^2) / 4*(v1^2 + v2^2 + 2*v1*v2*cos(α + β))

Сократим на 4, вынесем L и раскроем скобки в квадрате суммы. Получим дробь, числитель которой равен

L^2 * (v1^2 + v2^2 + 2*v1*v2*cos(α + β) - v1^2*cos^2(α) - v2^2*cos^2(β) - 2*v1*v2*cos(α)*cos(β))

а знаменатель: v1^2 + v2^2 + 2*v1*v2*cos(α + β)

Упростим числитель:

L^2 * (v1^2*(1 - cos^2(α)) + v2^2*(1 - cos^2(β)) + 2*v1*v2*cos(α)*cos(β) - sin(α)*sin(β)) - 2*v1*v2*cos(α)*cos(β)

Здесь формулу суммы косинусов вновь разложили

Далее будет:

L^2*(v1^2*sin^2(α) + v2^2*sin^2(β) - 2*v1*v2*sin(α)*sin(β) = L^2*(v1*sin(α) - v2*sin(β))^2.

Знаменатель v1^2 + v2^2 + 2*v1*v2*cos(α + β) можно построить, приведя векторы v1 и v2 к общему началу. Тогда окажется, что угол между ними равен 180ᵒ - (α + β), а вектор, приведённый, например, от конца вектора v2 к концу вектора v1 равен разности векторов V2 - v1. Обозначим эту разность просто v. Квадрат её модуля ищется по теореме косинусов и равен как раз выписанному знаменателю.

Поэтому S^2min = L^2*(v1*sin(α) - v2*sin(β))^2 / v^2

А значит:

Smin = L*|v1*sin(α) - v2*sin(β)| / v

Это и есть кратчайшее расстояние между телами. Здесь L - исходное расстояние между телами, v - модуль разности векторов v2 и v1, т. е. вектора скорости второго тела относительно первого.

Тела столкнутся, если кратчайшее расстояние между ними равно нулю, т. е. если:

L*|v1*sin(α) - v2*sin(β)| = 0,

откуда v1*sin(α) = v2*sin(β).

Формула для кратчайшего расстояния не зависит от того, что больше: v1 или v2 (при v1 > v2 может быть так, что v1*sin(α) < v2*sin(β)). В эту формулу входит знак модуля.

минимальное расстояние между телами равно
S=(v1*cos(альфа) + v2*cos(бета)) *T
T- время до встречи,
при условии
v1*Sin(альфа) = v2*Sin(бета).
тогда
S=v2*Sin(бета) *(1/tg(альфа) +1/tg(бета)) *T

нет скорости разные

Нет

Вывод "тела столкнутся, если кратчайшее расстояние между ними равно нулю" ---полный бред!!! "околонаучный" развод на баллы.

Прав ученик Андрей Лурковский со своим кратким и совершенно очевидным!!! ответом.

столкнутся, если v1Sin(альфа) = v2Sin(бета)

Столкнуться!

Сейчас

столкнутся, если v1Sin(альфа) = v2Sin(бета)