Задача из ммо (международной математической олимпиады - заметьте, никого не оскарбил)

сразу для простоты можем ограничить y множеством нечётных чисел (ведь слева от равно число нечётное для всех x>0, следовательно справа тоже нечётное).

1+2^x+2^(2x+1) = (2n+1)^2 = 4n^2 + 4n + 1
2^x+2^(2x+1) = 4n^2 + 4n

2^(x-2) + 2^(2x-1) = n^2 + n
2^(2x-1) - n^2 = n - 2^(x-2)
7 * 2^(2x-4) + 2^(2x-4) - n^2 = n - 2^(x-2)
7 * 2^(2x-4) - (n - 2^(x-2))(2^(x-2) + n) = n - 2^(x-2)
7 * 2^(2x-4) / (n - 2^(x-2)) - (2^(x-2) + n) = 1
7 * 2^(2x-4) = (2^(x-2) + n) * (n - 2^(x-2))
7 * 2^(2x-4) = n^2 - 2^(2x - 4)
8 * 2^(2x-4) = n^2
n^2 = 2^(2x-1)
n = 2^(x-0.5) = (2^x)/√2

Но n по условию должно быть целым числом, а (2^x)/√2 при любом целом x будет давать в результате не целое число. Потому уравнение не может быть построена с целыми x и y, если x>0

Остаются x<0 и x=0
Докажем что левая часть уравнения в результате не даёт целых чисел для любого значения -∞ < x < -1
Доказывается просто. При x=-1
1+2^х+2^(2х+1) = 1 + 2^(-1) + 2^(2*(-1)+1) = 1 + 1/2 + 1/2 = 2
в то же время если x→-∞, то 2^x → 0, 2^(x+1) → 0, а значит и 1+2^х+2^(2х+1) → 1
Таким образом функция на всём интервале -∞ < x < -1 принимает значения между 1 и 2

При x=-1 мы уже посчитали, что y^2 = 2, что не удовлетворяет условию задачи. А значит единственным ответом является x = 0; y = 2

Так что Вы посчитали правильно, нашли единственное возможное решение. Жаль только что доказать отсутствие других не смогли (кстати возможно доказывается и проще, просто я вроде как не математик :)) )

ты оскОрбил русскую орфографию!

Они не в курсе))) Новинькии
Упс. Не туды. Это Левину

У нас уже олимпиада! иду за пивом посмотреть охота !