Как ВРУЧНУЮ посчитать √3 или √5. Если какие-то числа еще можно разложить на квадратные множители... А тут как?

сейчас, скопирую свой старый ответ:

1. есть алгоритм вычисления "уголком", не знаю, как сейчас, раньше в школе проходили, 8-й класс, не сложнее деления уголком.

2. есть древний сверхбыстрый алгоритм (в самом деле - метод Ньютона, он же - касательных).

Хотим извлечь корень из А, обозначим точный корень как r.

Возьмем какое-то начальное приближение r0. Вообще-то можно взять какое попало положительное число, но быстрее будет, если мы возьмем r0 больше, чем r, но не намного больше.
Например, если надо извлечь из А=123456, можно взять 400 - знаков вдвое меньше, первая цифра 4 в начале - что-то около корня из 12. Если лень - можно взять просто r0=A.

А теперь посмотрим на число A/r0: если у нас r0 < r, то A/r0 > r, и наоборот, если у нас r0 > r, то A/r0 < r.
Значит неизвестный нам точный корень r лежит где-то между r0 и A/r0. Давайте возьмем в качестве нового приближения середину этого отрезка, то есть r1=(r0 + A/r0) / 2. Потом так же получим следующее приближение итд.

Такой метод удваивает число точных знаков на каждом шаге, так что долго считать не придется.

Например:
400.00000000000000
354.32000000000000
351.37539850982200
351.36306031259300
351.36306009596400
351.36306009596400
- все сошлось на 15 знаков точности

Квадратный корень — это зачастую иррациональное число, его нельзя точно записать никакой дробью. Только приблизительно. Поэтому и считают его так называемыми численными методами.

В школе учат брать некоторое число, возводить его в квадрат и сравнивать с подкоренным выражением. А затем увеличивать его на десятую или сотую долю, пока квадрат не окажется близок к подкоренному выражению.

Ѵ2 = ?
1² = 1
1,1² = 1,21
1,2² = 1,44
1,3² = 1,69
1,4² = 1,96
1,5² = 2,25, перебор.
1,41² = …

А более серьезные люди для таких расчетов придумали настоящую магию — ряды Тейлора-Маклорена.
Эти ряды бесконечные, но каждый новый член всё меньше и меньше влияет на сумму.

Вот тебе формула ряда Маклорена для квадратного корня.
Просчитай штук 5-10 первых его членов и сложи их.
Получишь приблизительное значение корня.

(n! = 1 • 2 • … • n — это так называемый n-факториал)

P. S. Как отметили в комментарии, ряд сходится только для |x| < 1.
Это проблемка.

Известен такой способ. Обозначим покоренное число х.

Подбираем ближайшее число с известным корнем. Здесь это будет 4. Для числа 3: Корень (х) = (х + 4)/(2*корень (4)) = (3+4)/(2*2) = 7/4 = 1,75. Это первое приближение. Для более точного вычисления находим 1,75^2 = 3,0625 и используем снова вместо ранее взятого числа 4, а в знаменателе будет 2* 1,75

Первое приближение для корня из 5 = (5 + 4)/2*2 = 9/4 = 2.25 и т. д.

Половинным делением! Тебе нужно решить уравнение x*x=3. 1 - мало, 2 - много, пробуешь 1.5 - мало, 1.75 - много... и т. д.

А ещё - можно на листике в столбик. http://kvant.mccme.ru/1987/03/staryj_algoritm.htm

.