Ко дну площадью S цилиндрического сосуда привязали на нити шар объёмом V2 из материала, плотность r2 которого...

Когда шар отвязался и идёт его всплытие к поверхности, то система
уже не замкнутая и вес всегда больше, чем в статике

Натяжение нити N=Fa=(r1-r2)*g*V2.После обрыва нити до того, как Fсопр достигнет значения архимедовой силы, шар движется ускоренно. С таким же ускорением движется вниз равный объему шара объем воды, и ц. м. системы ускоряется вниз, что вместе с возрастающей силой давления шара на воду kv компенсирует натяжение оборвавшейся нити. После достижения силой сопротивления значения архимедовой силы скорость становится постоянной, и силу натяжения нити компенсирует только сила давления шара на воду, равная выталкивающей силе kv=(r1-r2)*g*V2. Вес не меняется.

всплывающий шар движется вначале ускоренно и в этом случае выталкивающая сила не равна F=-rVg, а равна, как показал Эйлер F=-r1Vg[r2/(r1+2r2)], сообщая ускорение a(0)=F/m=-2g{(r1-r2)/(r1+2r2)]. но как только начнется движение включается сила сопротивления -kv и это ускорение начинает уменьшаться вплоть до момента когда скорость установится. в начальный момент времени вес увеличится на величину F=ma, но эта сила быстро уменьшается до 0 из-за сопротивления и скорость шара становится постоянной.

Ты никогда не подпрыгивал? Поприседай на весах. Когда массивная часть твоего живота идёт вниз, вес (показания весов) уменьшается при разгоне живота и увеличивается при торможении живота. Когда массивная часть твоего живота идёт вверх, вес увеличивается при разгоне и уменьшается при торможении (иногда до нуля, тогда ты подпрыгиваешь).

Также и тут: шарик идёт вверх с разгоном, вода (более массивная идёт вниз), вес уменьшается тем больше, чем больше ускорение шарика, которое максимально в первый момент и уменьшается силой сопротивления. Торможение начнётся, когда шарик вылезет из воды - тогда вес начнёт расти. Надо формулы?

Шарик m=ρ2*V2,
m*dv/dt=g(ρ1-ρ2)V2-kv, v(0)=0 => v_max=g(ρ1-ρ2)V2/k, v(t)=v_max*(1-exp(-k*t/m)).

v_max, конечно, не достижимо никогда, но это только в математическом значении слова "не достижимо". И да, решение линейного дифура первого порядка в одну строчку дают не всяким школьникам (хотя в ВУЗе это на первом курсе, и роботы, естественно, тоже шикарно с этим справляются).

dv/dt=a_max*exp(-k*t/m), a_max=g(ρ1-ρ2)V2/m=g(ρ1/ρ2-1).

Вес, соответственно, P=Po-(ρ1-ρ2)*V2*g(ρ1/ρ2-1)*exp(-k*t/m).

Как-то так.