У невесомой балки нет центра тяжести? Если толкать за край её , то она вся будет перемещаться по параллельным прямым?

У балки есть центр масс. И он есть в невесомости. Центр тяжести не самый верный термин.

А блин, не совсем верно прочитал вопрос. В физике не представляю совсем невесомую балку. Это абстракция.

Геометрический центр тяжести есть. Что касается физического, то это вообще какая-то неведомая х*та.
Он может быть, а может его и не быть. Построю два примера.

"ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ - геом. точка, неизменно связанная с твёрдым телом, через к-рую проходит равнодействующая всех сил тяжести, действующих на частицы тела при любом его положении в пространстве;"
(femto)

Если вы возьмете равноускоренно вращающуюся в инерциальной неинерциальную систему отсчета и рассмотрите в ней однородный шар, чтоб центр шара покоился на оси вращения, то он будет в силу симметрии невесомым, но центра тяжести у него не будет - поле тяжести будет его в вашей неИСО будет равноускоренно вращать. В этом случае центра тяжести у невесомого шара нет.

А в центрально-симметричном потенциальном поле тяжести у однородного шара есть центр тяжести - момент сил тяжести относительно центра шара всегда ноль в силу симметрии. При этом, если центр шара совместить с центром симметрии поля, шар станет невесомым.
В этом случае у невесомого шара центр тяжести есть.

PS. Хотя я, наверное, погорячился. Поле тяжести с ненулевым ротором (в неИСО) не назовут полем тяжести. Назовут его как-нибудь иначе, дабы не возбуждать никого.

Невесомость это отсутствие веса, но не отсутствие массы. Движение будет безразличным.

балка невесома, но полностью сохраняет свою инертность, т. к. масса балки m не зависит от ее состояния. если линия действия силы не будет проходить через центр масс, то балка начнет вращаться до тех пор пока пока линия действия силы не пройдет через центр масс. после этого балка начнет двигаться cтрого поступательно с ускорением a=F/m.

Да, так все точки равноправны. В реальности- нет, так при невесомости есть импульс инерции.