Как рассчитать долготу и широту края окружности на карте зная координаты центра, радиус (в метрах) и угол?

Примерно так, как отвечено выше.
Но надо уточнить, что за радиус имеется в виду - обычный, в математическом смысле, или в географическом. В географии все расстояния обычно измеряются не по прямой, а вдоль поверхности Земли (или геоида).

Раз радиус даётся в м-ах, значит, речь идёт не о "крупномасштабных" географических картах, а своего рода планах местности. Поэтому рассматриваемый участок земной поверхности с большой точностью можно принять за плоскость. Мне интересно было рассматривать именно область у самого северного полюса, где сходятся все меридианы. Думаю, это должно иметь какие-нибудь свои особенности.
Пусть точка А находится на 30о восточной долготы (λА= 30о) и на расстоянии в 1 км= 1000 м от Северного полюса: NA= рА= 1000 м. Пусть и R= 1000 м; точка В находится от точки А по азимуту α= 90о (т. е. восточнее).
Сначала определим широту точки А: φА= 90о-360о*рА/С= 90о-9о*10^-6*рА (м) = 90-0,009= 89,991о= 89о59'27,6". ( Выше C= 40000 км= 40000000 м - длина земного меридиана.)
Для расстояния от полюса до точки В получается формула рВ= √ (pA^2+R^2- 2pA*Rcosα), которая после подстановки известных значений даёт: рВ= 1000√2= 1414,2 м. Для долготы точки В выводится формула λB= λA+arcsin(Rsinα/pB). Подставляя данные, получаем: λB= 75o. А географическая широта φВ= 90о-9о*10-6*рВ= 90-0,009*1,4142= 89o59'14,8". Таким образом, для координат точки В окончательно получаем:
89o59'14,8" сев. широты и 75о вост. долготы.
Интересно бы знать, какие результаты получили бы, следуя приведённым в предыдущих ответах, или другим методикам?

По правилам - перевести в проекционные координаты, вычислить точку как обычно (синусом, косинусом), пересчитать обратно в градусы.
Можно приблизительно - по длине меридиана и широте посчитать размер одного градуса широты и долготы, и пересчитать вектор радиуса в градусы. Если там действительно 180 градусов, то дело сильно упрощается.