Как доказали справедливость формулы mgh потенциальной энергии? Или это результат веры ?

Разумеется, для реальных условий эта формула приближенная, но ее точности хватает для практического применения. Когда ты покупаешь в магазин килограмм сахара, это со стопроцентной вероятностью не точно килограмм, но ты же не требуешь закрыть магазин, потому что там обвешивают покупателей ;)

строго по определению работы.

как доказано - смотри учебник по физике. В школьном доказательство есть (упрощенное). Неупрощенное - тебе не понять, там интегралы (потому, как работа определена через интеграл)

"Вчера его адвокат сказал, что если уж вас один раз признали слабоумным, то это пригодится на всю жизнь."
Гашек "Похождения бравого солдата Швейка"

странный вопрос

в самом деле
цитата = ...Вес - сила, с которой тело действует на опору (или подвес, или другой вид крепления), препятствующую падению, возникающая в поле сил тяжести... https://ru.wikipedia.org/wiki/Вес

для примера возьмем водород
или гелий

или полено в воде

и КАК ИМЕННО автор вопроса посчитает mgh в указанных случаях ?
или же просто поверит?

В пределах земной атмосферы изменение силы гравитации с высотой незначительно. Формулы составляются для идеальных условий, то есть без учета сопротивления среды. Потом уже, если есть такая необходимость, вносят поправки в соответствии с окружающей средой.

"Даже ускорение свободного падения зависит от высоты"

Вот пока мало зависит, до тех пор и интегрируй константу! А то, блин, у него в рамках одной и той же задачи и ускорение свободного падения зависит от высоты, и потенициальная энергия вычисляется по формуле mgh.

Брехать-то не надо! Не помнишь, как что выводится - так и не берись утверждать! А то будешь на местных школьников похож, которые сюда только и приходят за формулами побираться, при этом мозг вообще не работает.

В результате многочисленных экспериментов, которые подтверждают справедливость этой формулы при данных условиях .

Здесь ничего доказывать не надо, так как, изначально, условились называть результат перемножения трёх величин словами - "потенциальная энергия".

Наше дело её знать, а не доказывать