Естественные науки

«Парадокс» с системой уравнений

Напишем неизвестные x, y и z по кругу, и обходя круг, составим три уравнения:
x+y= 3
y+z= 4
z+x= 5.
Система решается просто: х= 2, у= 1, z= 3.
Теперь то же самое делаем для 4-х неизвестных:
x+y= 3
y+z= 4
z+t= 5
t+x= 6.
Можно убедиться, что эта система НЕ ИМЕЕТ решения; не имеет решения и любая другая система, в которой первые три уравнения сохраняются, а в 4-м сумма указывается любым числом, отличным от 4. А при сумме 4 система
x+y= 3
y+z= 4
z+t= 5
t+x= 4
система имеет БЕСКОНЕЧНОЕ число решений, например:
1) x= 0, y= 3, z= 1, t= 4; 2) x= 1, y= 2, z= 2, t= 3 и т. д.
Словом, НЕВОЗМОЖНО составить 4 уравнения «по кругу». Почему это так?
Светлана Зуева
Светлана Зуева
90 859
Ну вы определитель первой матрицы в ответе Выше разложите по первому столбцу, 4 - четное число, поэтому определитель - ноль.

А дальше вполне естественно ожидать, что при четном кол-ве переменных/уравнений у вас система окажется несовместной (если специально не подгонять оставшийся столбец в расширенной матрице - см. теорему Кронекера-Капелли), настолько естественно, что даже о ранге расширенной матрицы системы думать лениво.

Вам, наверное, хочется услышать в ответе что-нибудь о четности количества переменных/уравнений, но чтоб в рамках школьного курса ответ был... Так? Только мне его лениво в школьный курс загонять.
Сeргeй Шeрстянкин
Сeргeй Шeрстянкин
34 449
Лучший ответ
Светлана Зуева Как механик, систему из 3-х ур-й я уподобляю 3-м стержням, соединённым шарнирно. Получается жёсткая, определённой формы конструкция. «Поэтому» система из 3-х ур-й имеет определённое решение. 4-хзвенный же механизм, подобно гармошке, не имеет определённой формы. Чтобы «ужесточить» его, вводится дополнительный, связывающий элемент в виде, например, прутка, пропущенного вдоль диагонали. В системе же из 4-х ур-й этим элементом служит коэффициент k (отличный от нуля), поставленный перед каким-либо из неизвестных в каком-либо из ур-й…
Добавь в последнее уравнение параметр (t+x=a) и реши задачу при каких значениях параметра a система имеет одно решение.

Как только ты это сделаешь тогда мы сможем убедиться что твое утверждение верно. А пока - это лишь недоказанные предположения.
Екатерина Анатольевна
Екатерина Анатольевна
88 529
Светлана Зуева Я и это пробовал. Выразить неизвестные через а не удаётся.
При а равно 4 решений бесконечно много, при а не равно 4 решения нет. Нет такого а, при котором данная система имеет одно решение.
Так обычно решаются задачи на оптимизацию — добавляется независимый параметр (ы), который можно варьировать для поиска экстремума (симплекс-метод), что и предлагается выше. Ур-ния ограничивают некую область, в которой — бесконечное кол-во решений, а надо выделить наилучшее (-шии) (оптимальные).
МД
Максим Дуюнов
87 472
многое невозможно. И если будет заниматься такой ерундой, останешься без штанов.
Svetlana Tretjak
Svetlana Tretjak
56 296
Светлана Зуева Понял, хотя не совсем: если кто-нибудь будет заниматься ерундой, почему без штанов останусь я, а не он? Но в любом случае спасибо за совет.
1100
0110
0011
1001

110
011
101

ранг первой матрицы 3. второй - тоже 3. почему первая вырожденная? потому что есть 2 строки (1 и 3) которые в сумме дают строку из сплошных единиц. если из неё вычесть вторую, получим четвертую....
имеет мой ответ для Вас хоть какую-то ценность? "Почему?" - вопрос аристократический...
Юлия Байкина
Юлия Байкина
45 285
Светлана Зуева Могу лишь догадываться, интуитивно. Вы доказываете, что при данной записи последнего уравнения (t+x=...) система в лучшем случае имеет бесконечное решение, в худшем - ни одного. К этому вводу пришёл и я. Система имела бы решение, если бы последнее уравнение имело вид t+kx= ...где k не равно нулю.
Светлана Зуева ...К этому вЫводу...
потому что при x+y=3 (1), y+z=4 (2), z+t=5 (3), t+x всегда равно 4. покажем это. из (1) y=3-x (и при натуральных решениях x<3 (4)), из (2) z=x+1, из (3) t=4-x, тогда t+x=4-x+x=4. при условии (4) система имеет только 2 решения, при х=1 и х=2. если включить в натуральный ряд и 0, то решений три. добавляется при х=0. если решение в целых числах (добавляем отрицательные), то решений бесчисленное множество. берем произвольное х и находим y=3-x. z=x+1 и t=4-x.
Дмитрий Коломичинко
Дмитрий Коломичинко
33 067
Светлана Зуева Рад от вас слышать. Да, к этому выводу пришёл и я. Вообще, если x+y= a, y+z= b, z+t= c, t+x= p, то р= а-в+с.
Марина Малахова Где вас носило, Марат?))

Похожие вопросы