Как найти производную логарифма в степени

y'= 4 - 1/(x+5)^4 *((x+5)^4)'= 4 - 4 (x+5)^3/ (x+5)^4 = 4- 4/(x+5)

(ln(x + 5)^4)' = (4*ln(x + 5))' = 4/(x + 5)

lna^b= blna.

очевидно, по правилу дифференцирования сложной функции
внешняя функция - ln x, внутренняя - (x+5)^4
внутреннюю тоже можно по этому же правилу разбить на x^4 и x+5, если влом раскрывать скобки

ВНИМАНИЕ, когда я готовил ответ, то предполагал, что там написано (ln(x+5))^4, если же в степень возводится не логарифм, а выражение в нём, то надо пересчитать, и там всё будет значительно проще даже :)

Разберёмся как считается производная сложной функции

найдём производную функции a(b(x)) по dx
заменим b(x) = u
тогда
a`(u) = (a(u + du) - a(u))/du
как мы знаем u` = du/dx; du = u`*dx
a`(u) = (a(u + du) - a(u))/(u`*dx)
заменим обратно, с учётом того, что du = b(x+dx) - b(x)
a`(u) = (a(b(x) + b(x+dx) - b(x)) - a(b(x)))/(u`*dx)
a`(u)*u` = (a(b(x+dx)) - a(b(x)))/dx

Итак, доказали, что
a`(b(x)) = a`(b)*b`(x)

(этого делать по сути в школе не требуется, но я посчитал, что знание откуда берётся производная сложной функции, не помешает).

Теперь решим предложенный пример
y = 4x - ln(x + 5)^4;
x + 5 = u;
y` = (4x)` - u`*(ln(u)^4)` = (4x)` - (x + 5)`*(ln(u)^4)`;
y` = 4 - 1*(ln(u)^4)` = 4 - (ln(u)^4)`;
ln(u) = v;
y` = 4 - v`*(v^4)` = 4 - (ln(u))`*(v^4)` = 4 - (1/u)*(4v³)`;
y` = 4 - 4v³/u = 4 - 4*ln(x + 5)³/(x + 5);

Если нигде не ошибся, то
y` = 4 - 4*ln(x + 5)³/(x + 5)

Это логарифм степени положительного числа: https://urokmatematiki.ru/reference-information/formuly/formuly-i-svoystva-logarifmov.php