Являются ли действительные числа комплексными?

Вопрос неглупый, хотя и не все это понимают! На тот момент, когда мы формулируем определение комплексного числа, в нашем распоряжении есть только действительные (они же вещественные) числа, ранее построенные как пределы фундаментальных последовательностей рациональных чисел, или через дедекиндовы сечения, или как-то еще. Построив поле комплексных чисел ℂ(т. е. введя для них арифметику, в которой умножение коммутативно, а все ненулевые элементы обратимы), мы замечаем, что можем ИЗОМОРФНО ВЛОЖИТЬ ранее построенное ℝ - поле действительных чисел - в только что построенное ℂ по естественному правилу: а переходит в пару (а, 0),т. е. в комплексное число с нулевой мнимой частью. С ЭТОГО МОМЕНТА мы фактически ПЕРЕОПРЕДЕЛЯЕМ понятие действительного числа: теперь мы будем так называть именно комплексные числа с нулевой мнимой частью, т. е. пары вида (а, 0).Так что В ЭТОМ НОВОМ СМЫСЛЕ действительное число представляет собой пару (а, 0),т. е. множество {a, {a,0}},где а - действительное число В ПРЕЖНЕМ СМЫСЛЕ (до построения комплексных чисел). Здесь есть некий логический трюк: мы расширили числовую систему за счёт того, что построили новую (ℂ),в которую прежняя (ℝ)изоморфно вкладывается. Ранее мы подобным же образом построили ℝ из рациональных чисел, еще раньше рациональные из целых (как классы эквивалентности дробей вида p/q,где p и q - целые), а целые - из натуральных, тоже как классы эквивалентности. Каждый раз мы, построив новую систему, убеждались, что предыдущая изоморфно вкладывается в неё,а потому мы вправе рассматривать эту предыдущую систему как ПОДМНОЖЕСТВО (строго говоря, подалгебру) вновь построенной. Дальше можно таким же образом строить гиперкомплексные системы: тело кватернионов (уже не поле, т. к. их умножение не всегда коммутативно) и алгебру чисел Кэли (там умножение теряет и ассоциативность).

Комплексные числа - расширение действительных. Естественно, что подразумевается включение действительных чисел. "Получается, что ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ число - это упорядоченная пара ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ чисел", второе из которых равно нулю.

x = x + 0*i
иными словами, ℝ ⊂ ℂ

нет у комплексного числа есть мнимая часть, из него можно выделить

Ко́мпле́ксные чи́сла — числа вида a+bi, где a, b — вещественные числа, i — мнимая единица, то есть число, для которого выполняется равенство: {\displaystyle i^{2}=-1.} Множество комплексных чисел обычно обозначается символом

Комплексная плоскость включает в себя ВСЕ числа.

Вопрос легитимный и попробую объяснить его на бытовых интуициях и аналогиях.

У каждой книги есть уникальный серийный номер ISBN, состоящий из 10 цифр.

Потом в 2007 году был введен стандарт ISBN13, который включает в себя новый префикс 978, девятизначный номер от старого ISBN10 и контрольную цифру штрихкода по стандарту EAN. "Делся" ли при этом куда-то старый стандарт ISBN10? Нет, конечно: на него легитимно указывать в библиографических ссылках и он остался в каталоге библиотеки, ничего не "зная" о стандарте ISBN13. Но мы просто взяли, привнесли и включили старый стандарт в новый, пользуясь тем, который нам удобен в данный конкретный момент (своего рода, в заранее обозначенных "ОДЗ"). В очень грубом приближении такое же произошло и с действительными vs комплексные.

Действительные мы определяли через Дедекиндовы Сечения, пределы Последовательностей Коши, "обратно" через сюрреальные числа и т. д. и всё было прекрасно, шикарно и замечательно. Потом мы в пространстве математического языка выработали новые термины, новый "словарь" и в рамках него записали новую парадигму, включив предыдущую, от чего предыдущая никак вообще не пострадала и продолжает себя прекрасно чувствовать в рамках ОДЗ.

Извините, что несколько сумбурно, но оно вот как-то так работает.

"Получается, что ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ число - это упорядоченная пара ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ чисел" - вы сами ответили на свой вопрос.