Изменённая редакция старого вопроса. Известный парадокс Монти Холла в такой вариации.
Есть три двери, из которых только одна выигрышная, в классической интерпретации за ней автомобиль, за каждой из двух других дверей, проигрышных, находится коза. И есть трое ведущих:
Первый ведущий - добрый, он же классический, как в обычном парадоксе Монти Холла. Всегда открывает одну из двух дверей, не выбранных игроком, а именно ту, за которой коза, после чего предлагает игроку выбор: либо открыть изначально выбранную им дверь, либо сменить свой выбор на другую неоткрытую (если за обеими дверьми находятся козы, он открывает любую из них с равной вероятностью).
Второй ведущий - злой. Также открывает одну из двух невыбранных дверей, причём если за одной из них находится автомобиль, ведущий открывает именно её, показывая тем самым, что за изначально выбранной игроком дверью автомобиля нет, и игрок проигрывает. Если же за обеими невыбранными дверьми находятся козы, ведущий открывает любую из них с равной вероятностью и в этом случае уже предлагает игроку сменить выбор.
Третий ведущий - случайный. Также открывает одну из двух невыбранных дверей, причём любую из них - с равной вероятностью, независимо от того, что находится за выбранной игроком дверью. Если за открытой ведущим дверью находится автомобиль, игрок проигрывает, если коза - ведущий предлагает игроку сменить выбор.
Кроме этих особенностей ведущие совершенно неотличимы друг от друга, и игрок не знает, кто из них есть кто. Ведущие не привязаны к дверям, и любой ведущий может открыть любую дверь.
Игра происходит следующим образом. Игрок вначале выбирает ведущего (наугад), а затем и дверь, после чего выбранный ведущий открывает одну из двух невыбранных дверей, и в зависимости от того, что за ней, либо игрок проигрывает, либо ведущий предлагает игроку сменить свой выбор, либо оставить выбор за первоначальной дверью, и этот выбор будет уже окончательным.
Какова вероятность для игрока выиграть автомобиль, если он придерживается стратегии всегда менять свой выбор в случае возможности сделать это? Выгодно ли игроку менять дверь?
Естественные науки
Парадокс Монти Холла. Расширенный вариант с тремя ведущими. Какова будет вероятность выигрыша автомобиля?
Светик Мусейцова
51 262
А что делает злой ведущий, если игрок изначально выбрал дверь с козой?
А, понял.
С добрым менять выбор выгодно, со злым менять не выгодно, со случайным без разницы менять или нет.
Злой отсекает больше половины шансов на выигрыш, лишая выбора из двух вариантов с одним выигрышным. Допустим, игрок этого не знает. Тогда часть игроков, выбравших изначально автомобиль, будут проигрывать. У этого ведущего будет минимум победителей. Тут нельзя посчитать, не зная, какая доля игроков меняет выбор. Если 50%, то победителей в итоге будет 16.5% (33% выбрали сразу автомобиль, потом половина изменила решение). Увеличение частоты смены выбора уменьшает число побед.
У случайного будет 33% победителей. У хорошего - (67% с изначальной козой, из которых половина меняет выбор = 33% + (33% с авто, из них половина передумала = 16.5%)) = 50% (округлил). Увеличение частоты смены выбора увеличит число побед (вплоть до победы всех 67% изначально выбравших козу).
А, понял.
С добрым менять выбор выгодно, со злым менять не выгодно, со случайным без разницы менять или нет.
Злой отсекает больше половины шансов на выигрыш, лишая выбора из двух вариантов с одним выигрышным. Допустим, игрок этого не знает. Тогда часть игроков, выбравших изначально автомобиль, будут проигрывать. У этого ведущего будет минимум победителей. Тут нельзя посчитать, не зная, какая доля игроков меняет выбор. Если 50%, то победителей в итоге будет 16.5% (33% выбрали сразу автомобиль, потом половина изменила решение). Увеличение частоты смены выбора уменьшает число побед.
У случайного будет 33% победителей. У хорошего - (67% с изначальной козой, из которых половина меняет выбор = 33% + (33% с авто, из них половина передумала = 16.5%)) = 50% (округлил). Увеличение частоты смены выбора увеличит число побед (вплоть до победы всех 67% изначально выбравших козу).
Ответ: надо менять выбор.
Случайный ведущий, если он открыл козу, неотличим от доброго. То бишь, при смене выбора мы выигрываем с вероятностью 2/3.
При злом ведущем, если он открыл козу и мы меняем выбор, вероятность уменьшается до 0.
Теперь считаем. При смене выбора имеем вероятности 2/3, 2/3, 0.
Не меняем выбор – имеем вероятности 1/3, 1/3, 1/3.
Первая стратегия сулит бОльшие шансы.
Случайный ведущий, если он открыл козу, неотличим от доброго. То бишь, при смене выбора мы выигрываем с вероятностью 2/3.
При злом ведущем, если он открыл козу и мы меняем выбор, вероятность уменьшается до 0.
Теперь считаем. При смене выбора имеем вероятности 2/3, 2/3, 0.
Не меняем выбор – имеем вероятности 1/3, 1/3, 1/3.
Первая стратегия сулит бОльшие шансы.
Светик Мусейцова
Случайный ведущий откроет козу, в отличие от доброго, не гарантированно, а только с вероятностью 1/2 (при условии, что мы тоже выбрали козу).
То есть, изначально шанс выбрать козу 2/3, ведущий открывает другую козу с вероятностью 1/2, и меняя выбор, мы выигрываем с вероятностью 2/3*1/2 = 1/3 (при условии, что мы точно знаем, что перед нами случайный ведущий).
Откуда 2/3?
То есть, изначально шанс выбрать козу 2/3, ведущий открывает другую козу с вероятностью 1/2, и меняя выбор, мы выигрываем с вероятностью 2/3*1/2 = 1/3 (при условии, что мы точно знаем, что перед нами случайный ведущий).
Откуда 2/3?
Похожие вопросы
- Парадокс Монти Холла. Ведущий и игрок уходят и новый субъект (игрок) делает выбор из 2х оставшихся дверей. Вероятность?
- Парадокс Монти Холла и похожие
- Почему парадокс Монти холла восприняли как что то истинное?
- Можно ли математически методами рассчитать вероятность выигрыша в футбольный тотализатор?
- Какова примерная вероятность данного события?
- Если вероятность зарождения жизни 10 в 20 – 10 в 21 степени, то каков процент вероятности зарождения жизни на звездных -
- Если учесть возраст вселенной то какова будет вероятность того мы первые разумные существа во вселенной ?
- Какова вероятность того, что при бросании трёх игральных кубиков выпадут числа, сумма которых делится на 9?
- Парадокс вероятностей!!!
- Парадокс по теории вероятностей. Помогите разобраться
То есть, он выбирает ведущего, но не знает, кем он оказывается.
Таким образом, он может с равной вероятностью попасть к любому из трёх ведущих.
У меня получилось, что в таком случае вероятность выигрыша для игрока составляет 1/3, независимо от того, будет ли он менять свой выбор или нет.
А в общем случае, если система автоматически выбирает игроку ведущего - доброго с вероятностью p, злого с вероятностью q и случайного с вероятностью, соответственно, 1 - p - q, то если игрок не будет менять выбор, то он выигрывает с вероятностью 1/3 независимо от p и q, а если будет - с вероятностью (1 + p - q) / 3.