Почему мне друг утверждает, что x^x=-1 не имеет корней?

Всё зависит от того, что понимать под ^ (или просто возведением в степень).
Потому что есть две совершенно разные математические операции, которые записываются абсолютно одинаково.

Первая - это возведение в действительную степень. И там запрещены отрицательные (и равные нулю) основания, поскольку при дробных показателях получается противоречие. Например: -2 = (-8)^(1/3) = (-8)^(2/6) = ((-8)^2)^(1/6) = 64^(1/6) = 2, т. е. -2 = 2.
Вторая - это возведение в целую степень. И там запрещены по определению нецелые показатели, но зато разрешены отрицательные основания, так как таких противоречий там возникнуть не может.

Так вот, если ^ понимать как первую операцию, то уравнение не имеет корней (из определения следует, что такая степень отрицательной быть не может), а если как вторую, то корень равен -1. Так что правы оба. Каждый по своему.

Это уравнение не имеет корней среди действительных чисел.
Если привлечь множество комплексных чисел, то в них имеет.

Это просто математика. А ты её не знаешь.... А друг твой - молодец!

В действительных числах a^n=exp(n*ln(a))
В комплексных чиcлах всё можно. Для чего их и придумали
но не все это знают

На график посмотри.

x>0 просто должен быть

потому что логарифмов таких не бывает.

Потому что область определения функции f(x)= x^x : x > 0 и область значения f(x) > 0, если мы говорим о действительных числах.

Уравнение имеет бесконечное множество решений в комплексных и гиперкомплексных числах. Решение в комплексных числах записывается через W функцию Ламберта: e^W(2*i*pi*n+i*pi) , где n — произвольное целое число. Но, повторюсь, это решение только для комплексных чисел. В действительных, рациональных и натуральных числах решения нет.

ОДНАКО. Если мы явно текстом пропишем, что мы записали частное уравнение, мы не рассматриваем его в контексте функциональной парадигмы и указанная нотация обозначает только выражение, обращенное в верное равенство, заведомо заданное в качестве такового условием, то ответ x = -1 может быть принят. Причем, с большей долей вероятности его примут в США, Австралии или Англии, но категорически не примут во Франции или России, где со времен Огюстена Луи Коши господствующей является функциональная парадигма.

В англо-саксонской традиции всё немножко не так: там понятия уравнения и функции столь жестко не связаны еще со времен Джона Нэпера, обсуждавшего уравнения в кинематической парадигме, а не функциональной.

Кроме того, важная ремарка. Для действительных чисел возведение в степень задаётся не так же, как и для целых, а как a^b = exp(b*log(a)) , где log — натуральный логарифм, а exp — функция возведение e в действительную степень. Для положительных целых или натуральных без нуля возведение в степень задаётся иначе: как гипероперация относительно произведения. Т. е., a^b = a * a * a * ..._b-раз_ ...* a . То есть, запись a^b может обозначать две принципиально _разные_ операции, в зависимости от типа данных. В IEEE 754-2008 зафиксированы три разные функции:

pow - выдаст значение -1, если x — типа integer и выдаст значение NaN (Not a Number , "не число"), если x типа real
pown — возведение в степень только для целых чисел, результат операции -1
powr — возведение в степень только для действительных чисел, результат операции NaN ("не число")

Функция pow добавлена для совместимости со спецификацией C99 компьютерного языка C.

Для рациональных чисел может действовать как одна, так и другая конвенция, в зависимости от реализации и специальной локальной конвенции.

Понятно, что в случае exp(b*log(a)) невозможно иметь a < 0, т. к. логарифм для отрицательного числа не определен.

Таким образом, возможность нахождения корней уравнения x^x = -1 зависит от:

1. Выбранной нами парадигмы: функциональной (монопольное господство в России и Франции) или "частного уравнения" (может быть не принята в России).
2. Числовой системы (действительные числа, комплексные, рациональные и т. д.).
3. Типа данных, если речь идет о машинных вычислениях. Для последних, выражение x^x = -1 может быть эквивалентным трем разным операциям: pow, pown и powr, сама реализация которых (например, применительно к рациональным числам) в конкретной среде может зависит от других технических условий за пределами инженерного стандарта IEEE 754-2008.