Интересная задачка из геометрии ЕГЭ С-4

Во имя единства стиля, заданного предыдущим ответом, подчеркну, что самое интересное и непростое в стереометрических задачах – это обоснования. Из-за отсутствия оных в задачах С4, каковой предложенная и является, можно потерять 2 балла из 4 первичных. При переводе в 100-балльную шкалу эти 2 балла превращаются примерно в 6. Не так уж и мало для тех, кого волнует не школьный аттестат, для получения которого достаточно решить 6 задач из части А, но и поступление в вуз!

Итак, решение, за которое ставится 4 балла из 4. Правда, без рисунка, который по решению построить нетрудно. Пояснения, данные в скобках, при оформлении работы давать не обязательно.

1.MA=MB=MC как образующие конуса, треугольники AMB, BMC, CAB равны как прямоугольные равнобедренные с равными катетами. AB=BC=CA, треугольник ABC – равносторонний, вписанный в окружность,
R=a/sqrt 3, a=R*sqrt 3=6*sqrt 3.
AM=AB*sqrt 2 /2=3*sqrt 6.
Высота конуса MO,
MO^2=AM^2-R^2=18
MO=3*sqrt 2

(На этом заканчивается то, что описано в предыдущем ответе, и начинается то, что там же названо тривиальным, а на самом деле самое важное) .

2.Объём пирамиды МABFC с фиксированной высотой МО наибольший, если наибольшая площадь у основания ABFC.
S(ABFC)=(AF*BC*sin alpha) /2 (половина произведения диагоналей на синус угла между ними)
S(ABFC) <= (2R)*BC/2 ( любая хорда AF не превосходит радиуса, синус не превосходит 1).
Равенство (наибольшая площадь) достигается, если AF – диаметр, перпендикулярный AB, т. е. проходящий через его середину.
AF=2R, угол FAB =60/2=30 градусов (прямая AF – содержит высоты и медиану равностороннего треугольника АВС, следовательно, и биссектрису) .

3.(Расстояние буду считать через объем пирамиды MAFB, т. к. очень не хочется опускать перпендикуляр на плоскость) .
V(MABF)=S(ABF)*MO/3=S(MAB)*h/3,
где h – высота пирамиды, опущенная из F на MAB, т. е. искомое расстояние.
h=S(ABF)*MO/S(MAB)=AB*AF*sin 30*MO/MA^2=6*sqrt 3*12*3*sqrt 2*1/2*/(9*6)

h=2*sqrt 6

Первое предложение (оно же, собсно, и последнее) - нарисовать рисунок. По собственному опыту, этого достаточно для решеения 90% геометрических задачек. Из оставшихся ещё 9% требуют знания теоремы Пифагора. И только примерно 1% - действительно интересные задачки.
Конкретно тут. Раз указанные углы равны, то точки А, В и С расположены по окружности на равном расстояни друг от друга, то есть делят окружность основания на три равные части. Этого достаточно, чтобы - пользуясь, кстати, теоремой Пифагора и тем фактом, что углы там прямые - найти высоту конуса.
А дальше всё тривиально. Пирамиду можно представить как "сумму" двух пирамид - МАВF и МАFC - у которых общая высота. Так что объём пирамиды максимален, когда максимальна сумма площадей треугольников ABF и AFC. тем самым задачка сводится в исследованию плоской фигуры.