Математика, логика, парадокс

есть то, что точно существует - это пустое множество, ∅. назовём его "ноль".

можешь на него посмотреть - разожми ладонь и представь в ней яблоко. но яблока нет - ладонь пустая. это называется абстрактное мышление.
http://www.jvanetsky.ru/data/text/t9/yabloki/

поехали дальше. возьмем теперь одноэлементное множество, единственным элементом которого будет пустое множество (оно же у нас есть!) получили множество:
{∅}
оно не совпадает с пустым - ведь оно одноэлементное, а в пустом множестве элементов нет!
назовём полученное множество "единица"

теперь у нас есть два множества, ∅ и {∅}. возьмем их объединение:
{∅, {∅}}
получили двухэлементное множество.
назовём полученное множество "двойка"

а теперь введем хитрую операцию, "получение следующего числа из данного"
у нормальных людей, не задающихся глупыми вопросами, эта операция записывается как S(n) = n+1 (ну там S(2) = 2+1= 3, S(4) = 4+1 = 5 и т. п.)
а у нас - вот так: S(n) = n ∪ {n}

например, тройка:
{∅, {∅}} ∪ {{∅, {∅}}} = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}
четвёрка:
{∅, {∅}, {∅, {∅}}} ∪ {{∅, {∅}, {∅, {∅}}}} =
= {∅, {∅}, {∅, {∅}}, {∅, {∅}, {∅, {∅}}}}
и т. д.

вот и получили множество натуральных чисел из ничего.
заодно и сложение окучили:
n+m = S(S(S(....n....)))

ну, а уж вычитание, отрицательные числа и всё прочее - от лукавого.
"Бог создал целые числа, всё остальное - дело рук человека." (Кронекер)

в общем, смотри определение Фреге — Рассела, например, вот тут:
https://ru.wikipedia.org/wiki/Натуральное_число

1. Цифр от нуля до бесконечности не существует. В десятеричной системе цифр всего 10: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0. От минус бесконечности до плюс бесконечности существуют не цифры, а числа. В двоичной системе все многообразие чисел от минус до плюс бесконечности обозначается всего двумя цифрами: 0 и 1.
2. Числа не существуют. Числа являются абстракциями, но могут выражать определенные сущности. А могут и не выражать.
3. Числа бывают разные: натуральные, действительные, рациональные, иррациональные и некоторые другие.
4. Числа записываются с помощью цифр так же, как слова записываются с помощью букв.
5. Цифра 0 обозначает на цифровой оси точно такую же точку, как любая другая цифра или их набор. Число 0 существует точно так же, как любое другое число. И так же, как любое другое число, является абстракцией.

мэнэ, ты не прав!
"0" это "ничего нет".
<0 это кредит.
>0 это дебет.

Это не парадокс, а простая неграмотность, неосведомлённость.

+/-0 рассматривается как середина на числовой оси, либо +0, как конечная точка на оси, либо -0, как начальная точка на оси. Выбор за Вами!

Математические объекты, это не физические объекты.
Поэтому любые математические объекты ВСЕГДА существуют, но не в физическом материальном мире, а в идеальном мире.

Что значит "существуют"? Надо найти ответ в математическом, философском или "кухонном" смысле? Если в математическом, то существует множество Z целых чисел, включающее ноль. Всё.
Если в каком-то другом смысле, то тут у каждого может быть свое мнение, и рассуждать можно бесконечно.

ну ноль это обозначение несуществующего, просто символ чтобы можно было его как то представить, то сам ноль существует, а то что он значиит- абсолютное ничего