Почему тела в точках Лагранжа стационарны?

тела устали и спят

Потому что все силы уравновешены.
Тело в этих точках не остается неподвижным, оно вращается ВМЕСТЕ с обоими участниками системы.

В инерциальной системе отсчёта вся эта конфигурация вращается вокруг центра масс с определенной угловой скоростью. И тела в точках Лагранжа тоже.
А во вращающейся системе отсчёта, связанной с этими двумя телами, приходится вводить центробежную силу (и силу Кориолиса), которая в точках Лагранжа как раз и компенсирует силы притяжения.. Кстати, устойчивость только в точках 4 и 5.

Распиши силы в системе M2, увидишь, что они уравновешены

Неподвижность там формальная, а сама точка Лагранжа это неровный диаметр в десятки километров. Все эти тела и точки в совокупности вращаются вокруг Солнца. Но, точках Лагранжа космические объекты находятся в относительном равновесии, на них мало действуют силы притяжения других планет, эти силы маскируются и взаимно компенсируют друг друга. То есть спутник, или телескоп в точке Лагранжа почти не меняет свою орбиту и поэтому как бы находится в одном месте. Если простой спутник запущенный вокруг Земли постоянно колбасится в небольших пределах именно за счёт влияния других небесных тел и его орбиту нужно постоянно корректировать. То, в точке Лагранжа эти силы почти не влияют и телескоп может там находиться довольно долго растрачивая на свою точную корректировку самый минимум ракетного топлива. Примерно, так.

Гравитация между объектами компенсируется.
https://www.youtube.com/watch?v=Lx7PbmYV6HE (видео на тему)

ты понимаешь, что неподвижность условная? т.е. она справедлива только для системы координат в которой основные гравитационные источники системы стационарны... для стороннего наблюдателя вся эта система будет синхронно подвижной...

Силы притяжения компенсируют друг друга.