Есть ли формула длины пути при линейно растущем ускорении?

Формула для постоянного ускорения:
S = V₀*t + ½*a*t²
Если еще и a(t), нужно еще раз проинтегрировать, получится 3-я степень от времени.
Вам это точно надо?

Да , но надо знать ускорение в трёх плоскостях в любой момент времени.
Формулу я сейчас не скажу , но именно так работает блок ориентации (например) ракеты в пространстве. Там три датчика ускорения в трёх плоскостях , которые непрерывно передают телеметрию. Зная начальную координату и имея значения векторов этих трёх ускорений в текущем времени мы абсолютно точно знаем положение объекта в пространстве в любой момент. Как бы он не дёргался и даже если замрёт и подвиснет !

во, так будет вернее.

1) положение точки r(t) связано со скоростью v(t) соотношением: v(t) = r'(t)
2) скорость точки v(t) связана с ускорением w(t) соотношением: w(t) = v'(t) = r''(t)
3) длина пройденного пути равна ∫ |v(t)| dt

так что при известном ускорении w(t) путь найти легко:
1) находим скорость из дифура w(t) = v'(t)
2) находим путь по формуле s = ∫ |v(t)| dt

если движение одномерное, и w(t) = ct, то: v' = ct, следовательно, v(t) = v₀ + ct²/2, и
s(T) = ∫ |v(t)| dt = ∫ |v₀ + ct²/2| dt = v₀T + cT³/6 - s₀
(это если v₀ + ct²/2 > 0 при всех t > 0, иначе еще и с модулями придется возиться)

по закону архимеда после плотного обеда чтобы не откинуться нужно срочно вкинуться