можно ли взять очередной отпуск не проработав полгода в одной организации,

Можно, но по согласованию с руководителем и могут отказать (122 ТК РФ)
Право на отпуск позникает после полугода работы.
До истечения шести месяцев непрерывной работы оплачиваемый отпуск по заявлению работника должен быть предоставлен:
женщинам - перед отпуском по беременности и родам или непосредственно после него;
работникам в возрасте до восемнадцати лет;
работникам, усыновившим ребенка (детей) в возрасте до трех месяцев;
в других случаях, предусмотренных федеральными законами.

Можете взять авансом, но дать его вам или нет - только на усмотрения работодателя. Если откажут - будут иметь на это право.
Непрерывный стаж ни на что не влияет - при увольнении из другой организации вы получили компенсацию за неиспользованный отпуск (если не использовали его во время работы).

Это называется отпуск по частям. Напиши заяву босу

непрерывный стаж роли здесь не играет.. .
по ТКРФ Вы можете взять ПОЛНОСТЬЮ оч. отпуск, проработав 6 месяцев (хотя редко где его дают сразу весь))) , а вот на усмотрения начальства, несколько дней оч. отпуска могут дать и раньше (но, повторюсь НА УСМОТРЕНИЕ ВАШЕГО РУКОВОДСТВА)

решение администрации, может отпустить без оплаты за отпуск

полностью согласна с Алексеем Н, Можно, но по согласованию с руководителем и могут отказать (122 ТК РФ)
Право на отпуск позникает после 6 мес. непрерыв работы.
До истечения шести месяцев непрерывной работы оплачиваемый отпуск по заявлению работника должен быть предоставлен:
женщинам - перед отпуском по беременности и родам или непосредственно после него;
работникам в возрасте до восемнадцати лет;
работникам, усыновившим ребенка (детей) в возрасте до трех месяцев;
в других случаях, предусмотренных федеральными законами.
Давать отпуск полностью рисковано (скорее всего откажут) вдруг вы потом уволитесь, попросите хотя бы часть.

Отпуск вам может быть предоставлен, если договоритесь с работадателем, посмотрите гл 19 ст122 Трудового кодекса:

Статья 122. Порядок предоставления ежегодных оплачиваемых отпусков
Оплачиваемый отпуск должен предоставляться работнику ежегодно.
Право на использование отпуска за первый год работы возникает у работника по истечении шести месяцев его непрерывной работы у данного работодателя. По соглашению сторон оплачиваемый отпуск работнику может быть предоставлен и до истечения шести месяцев.
До истечения шести месяцев непрерывной работы оплачиваемый отпуск по заявлению работника должен быть предоставлен:
женщинам - перед отпуском по беременности и родам или непосредственно после него;
работникам в возрасте до восемнадцати лет;
работникам, усыновившим ребенка (детей) в возрасте до трех месяцев;
в других случаях, предусмотренных федеральными законами.
Отпуск за второй и последующие годы работы может предоставляться в любое время рабочего года в соответствии с очередностью предоставления ежегодных оплачиваемых отпусков, установленной у данного работодателя.

Скорее всего нет им будет по барабану непрерывный стаж в другой организации

На усмотрение администрации.

нет. если только по семейным. А лучше больничный взять.