Может ли руководитель снять надбавку за классность у водителя? (гос. организация)

Не может. Не он её устанавливает. Прошу прощения, не совсем правильно Вам ответила. Это классность не устанавливает работодатель.
А доплата за классность устанавливается водителям автомобиля при условии производственной необходимости привлечения их к работам на автомобилях (спецмеханизмах) не менее чем двух различных категорий, и при подтверждении необходимости наличия на конкретном производственном участке водителя соответствующего класса.
Доплата за классность водителю автомобиля устанавливается постоянно действующей на предприятии комиссией по результатам аттестации работника с учетом наличия у него на дату аттестации разрешающих отметок и непрерывного стажа работы в качестве водителя соответствующего класса, устанавливаемых на основании удостоверения с отметкой, дающей право управления определенными категориями транспортных средств, и трудовой книжки.
Присвоение водителю 3-го класса производится при наличии в водительском удостоверении разрешающих отметок «В» или «С» , или только «Д» .
Присвоение водителю 2-го класса производится при наличии в водительском удостоверении разрешающих отметок «В» , «С» , «Е» или только «Д» («Д» или «Е» ) и непрерывном стаже работы не менее трех лет в качестве водителя автомобиля 3-го класса на данном предприятии.
Присвоение водителю 1-го класса производится при наличии в водительском удостоверении разрешающих отметок «В» , «С» , «Д» и «Е» и непрерывном стаже работы не менее двух лет в качестве водителя автомобиля 2-го класса на данном предприятии
Работникам, которым в установленном порядке присвоены 1-ый или 2-ой водительские классы, выплачивается ежемесячная надбавка в следующих размерах от установленной тарифной ставки (должностного оклада) :
• 1 класс – 25%;
• 2 класс – 10%.
Согласно трудовому законодательству, все доплаты и надбавки, установленные работнику, должны быть отражены в трудовом договоре (с учетом основаних для их установления) . На основании трудового договора издается приказ о доплате за классность.

Понижаем класс водителя

Классность можно не только установить, но и понизить (п. 7 Справочника). Понижение класса квалификации объявляется приказом руководителя с занесением в трудовую книжку. Водителям, которым понижен класс квалификации, а также лишенным права управления транспортным средством на срок более года, класс квалификации может быть присвоен на общих основаниях вновь.

Понизить класс можно, если водитель 2-го и 1-го класса:

- не выполняет требования, предусмотренные квалификационной характеристикой или должностной инструкцией;

- систематически не выполняет планы, графики перевозок и расписания движения;

- имеет перерасход топлива;

- имеет за последние три года работы нарушения ПДД, повлекшие за собой дорожно-транспортные происшествия;

- нарушает техническую эксплуатацию транспортного средства и правила техники безопасности.

Для установления порядка присвоения классов водителям работодатель должен разработать ряд локальных нормативных актов, поскольку обязательные требования о присвоении классности ТК РФ и нормативными документами, содержащими нормы трудового права, не установлены. Необходимые условия выплаты надбавки - создание квалификационной комиссии и обеспечение ее функционирования, разработка положения о начислении надбавки за классность водителям и положения о присвоении классности водителям.