работодатель имеет право уволить сотрудникуа с испытательного срока по 71 статье ТК.

А Вам давали производственное задание в письменном виде, под роспись? Если нет, то как компания решила, что Вы не справились с испытанием?
Обращайтесь в суд, есть шанс запись изменить! НО! Измененная запись ничем не лучше, так как каждый кадровик и руководитель поймут, что Вы судились, соответственно, с такими работниками предпочитают не связываться.
Лучше всего - попробуйте с ним договориться.

Самое прямое.
Работодателю то как защищаться от недобросовестных работников?
Работник может тыкать окружающим носом в свой возраст, в свои образования, но на работе фактически нах.... евертить так, что потом никто не разгребет.
И плевать, что начальнику 20 лет.
В итоге такой человек увольняется С УКАЗАНИЕМ ПРИЧИН. Если работника не устраивает такое решение, то он может обжаловать это решение в суд.

Статья 71. Результат испытания при приеме на работу

При неудовлетворительном результате испытания работодатель имеет право до истечения срока испытания расторгнуть трудовой договор с работником, предупредив его об этом в письменной форме не позднее чем за три дня с указанием причин, послуживших основанием для признания этого работника не выдержавшим испытание. Решение работодателя работник имеет право обжаловать в суд.
При неудовлетворительном результате испытания расторжение трудового договора производится без учета мнения соответствующего профсоюзного органа и без выплаты выходного пособия.
Если срок испытания истек, а работник продолжает работу, то он считается выдержавшим испытание и последующее расторжение трудового договора допускается только на общих основаниях.
Если в период испытания работник придет к выводу, что предложенная ему работа не является для него подходящей, то он имеет право расторгнуть трудовой договор по собственному желанию, предупредив об этом работодателя в письменной форме за три дня.

Согласно той же статье 71 "защита от этого произвола" производится в суде

Статья 71. Результат испытания при приеме на работу

При неудовлетворительном результате испытания работодатель имеет право до истечения срока испытания расторгнуть трудовой договор с работником, предупредив его об этом в письменной форме не позднее чем за три дня с указанием причин, послуживших основанием для признания этого работника не выдержавшим испытание. Решение работодателя работник имеет право обжаловать в суд.