Имеет ли право работник подменяться на работе по устной договорённости с коллегой?

Только с письменного согласия работодателя. Ст. 103 ТК РФ, работа производится согласно графика, утвержденного за месяц.
Ст 100 ТК РФ "Режим рабочего времени должен предусматривать продолжительность рабочей недели (пятидневная с двумя выходными днями, шестидневная с одним выходным днем, рабочая неделя с предоставлением выходных дней по скользящему графику, неполная рабочая неделя) , работу с ненормированным рабочим днем для отдельных категорий работников, продолжительность ежедневной работы (смены) , в том числе неполного рабочего дня (смены) , время начала и окончания работы, время перерывов в работе, число смен в сутки, чередование рабочих и нерабочих дней, которые устанавливаются правилами внутреннего трудового распорядка в соответствии с трудовым законодательством и иными нормативными правовыми актами, содержащими нормы трудового права, коллективным договором, соглашениями, а для работников, режим рабочего времени которых отличается от общих правил, установленных у данного работодателя, - трудовым договором. "

только с разрешения непосредственного руководителя, т. к. он обязан составлять график и вести табель рабочего времени каждый месяц

Не знаю как по трудовому кодексу и по рабочему договору, но у нас например, можем подменяться с коллегами даже не ставя об этом в известность начальство - главное чтоб работа делалась, а кто будет работать это уже забота работников. Естественно не должно быть накладок - типа - договорились с коллегой, а он не вышел - тогда прогул будет засчитан вам.

хорошо