Имеет ли право на это начальник цеха? К какой статье трудового кодекса это отнести?

Полное право!
Статья- благоустройство рабочего места.

В принципе, можно на это забить, если все формальности не были соблюдены... если, конечно, есть на примете иное место работы.
В этом деле есть много тонкостей - должны обучить, инструктаж и прочее.
Кстати, если это в рабочее время (без отрыва от основной деятельности) то и доплата должна быть.

Почитай статьи 60.2 и 151 - там более менее подробно изложено.

Скорее всего (и как обычно) деньги были выделены... и тут же поделены в узком кругу.

Отдельно по работам на высоте - только специально обученные работники могут выполнять работы на высоте.

Нет не законно, на вашем предприятии должна быть строительно-ремонтная бригада, в состав которой входят плотники, штукатуры-маляры, а именно специально обученные люди. Если таких нет, то ваш начальник должен заключить договор на выполнение таких работ с фирмой. Кроме того вы пишите что у вас высота 5 м, а это значит что должны быть леса на которых вы без соблюдения ТБ работать не можете, а у вас нет журнала, нет обучения для таких работ. Короче не ваше Это дело.

Высотные работы должны выполняться по специальному допуску, людьми, у которых есть этот допуск. Меры безопасности никто не отменял.

Если в вашем трудовом договоре написано выполнять поручения начальства или что - то в этом роде это законно или как дополнительная трудовая временная функция, с доплатой