Если страховая компания занизила выплаты -какие документы нужны, для подачи заявления в суд?

СК не делает экспертизу, она делает осмотр. Соответственно никакого отчета там нет.
Есть Акт осмотра ТС (в котором указываются повреждения, полученные ТС в результате ДТП) и Акт о страховом случае, в котором СК теоретически должна провести расчет страховой суммы. Акт о страховом случае выдается по требованию в течение 3 дней, Акт осмотра является его неотъемлемой частью.
Обращайтесь с письменным требованием о выдаче этих актов. Если откажут - в суде вам же плюс будет, т. к. увеличивает количество нарушений закона СК.
Делаете независимую оценку ущерба (лучше вызвать туда телеграммами представителя СК и виновника, хотя никакими НПА это не предусмотрено, но на всякий случай) , отправляете копию и претензионное заявление в СК заказным письмом. Ждете ответа.
Подаете иск в суд. Конкретного списка документов для подачи искового заявления нет. Хотя очевидно что как минимум вам необходимо подтвердить какую именно сумму вам должна СК, т. е. нужен отчет о нанесенном ущербе и информация из банка о том сколько СК уже выплатила (сберкнижка или выписка со счета) . Также нужны документы подтверждающие факт вашей невиновности в ДТП - копия постановления об АП и справки о ДТП. Кроме того закон позволяет взыскивать с СК стоимость независимой оценки - следовательно нужен документ об оплате услуг оценщика и договор с ним.

Напишите жалобу в Росстрахнадзор.

доказательство занижения, то есть это будет отчет об оценке оценщика, и естественно все остальные документы, необходимые для обращения в суд, например, иск, договор.