Программирование и математика где оно применяется, назовите базовый пример?

Не совсем так. Программист должен знать математику и уметь её использовать, но профессиональным математиком он не является. Точно так же, как инженер-конструктор обязан уметь использовать математику, но не обязан быть математиком.

Профессиональными математиками являются только программисты-теоретики. А профессиональные программисты-практики должны уметь пользоваться результатами работ теоретиков.

Любая нетривиальная программа - это, обязательно, дискретная математика. Без исключений. Остальные области математики - по необходимости:
Бизнес-аналитика - теория игр
Планирование - линейная алгебра
Логические игры - комбинаторика
Азартные игры - теория вероятности
"Физика" в играх, моделирование - дифференциальное исчисление
3D - векторная алгебра, кватернионы
Базы данных - реляционная алгебра
Математические расчёты, показания датчиков - вычислительная математика
Обработка видео / звука - преобразование Фурье, вейвлеты
и т. д.

P.S. Да, в этом списке нет школьных алгебры с геометрией. Школьный курс математики - базис для изучения необходимой математики.

Математика объёмна, погромство тоже. Они могут не пересекаться, но в процессе обучения используются математические знания. Человек, владеющий математическим аппаратом в школьном объёме решит задачу быстрее и практичнее
Есть много областей математики, которые с программированием могут даже и не пересекаться. И наоборот, есть те сферы, в которые они погружены и растворены
"Я по своей сути больше гуманитарий"
а кого это интересует?

"Компьютер" в переводе "вычислитель". А вычисление - это математика. Многие способы вычисления, правда, разработаны задолго до тебя и реализованы в готовых уже написанных алгоритмах, в которых программист должен разбираться. Объяснять, что тебе надо, надо не компьютеру, а программисту. А программист уже должен придумать, как вычислить, что тебе надо, и объяснить это компьютеру - то есть компьютеру объясняют не "что", а "как".
"Базового" примера нет, просто пример - пожалуйста. Надо повернуть изображение какого-то предмета на какой-то угол. Новые координаты точек вычисляются формулами алгебры кватернионов - одного из видов гиперкомплексных чисел.

Даже если оно нигде не пригодится, сам факт изучения математики хорошо прокачивает мозги. А человек, знающий математику, в среднем будет писать более эффективный (красивый) код.

Помимо графики, анимаций, создания игровых движков, где нужна вполне конкретная геометрия... Внезапно может встретится задача, которую можно решить или через цепочку if-else, или через одно выражение, до которой математик просто быстрее допрет)

Из примеров... первое, что пришло в голову (хоть и не вышмат): Кривые безье. В JS есть готовая функция, рисующая кривую, а готовой функции для её плавной анимации нет. Пришлось пару дней покопаться на форумах, искать формулы, чтобы нарисовать кривую из мелких линий.

Другое: Есть массив точек на плоскости, нужно их равномерно покрутить на N градусов. Без тригонометрии никак)

Алгоритмы и прочая шляпа - это программирование. Вычисление и т. д

Все программы работают на основе формул разных, серьезное программирование требует знание математики и мат. логики.
Самая элементарная задача по созданию калькулятор уже нужно знать математику.