Прямая 2x + 3y = c - Где C - некоторое число, касается гиперболы y=6/x в точке с отрицательными координатами. Найдите C

Удобно выразить эти уравнения в виде у=у (х) . Пусть это функции у1 и у2.

Раз касается - значит имеет общую точку. И она удовлетворяет обоим уравнениям. Значит у=у1(х) и у=у2(х) - два уравнения. В принципе можно даже записать y1(x,c).. но это мелочи.
Более того - касание значит одинаковую производную в этой точке. Значит у1'(x) = y2'(x) - это третье уравнение.

Получилась система трёх уравнений с двумя неизвестными и параметром. У неё (что вполне естественно) может быть больше одного решения. Условие насчёт отрицательности координат - для того, чтобы выбрать нужное при необходимости.

Выражай, подставляй.

>^.^<

Привет!

Вот решение, только не "рациональное", а аналитическое:

В точке касания имеем 2x+3*(6/x)=c, откуда x^2-(c/2)*x+9=0
Выделим полный квадрат x^2-2*(c/4)*x+(c/4)^2+9-(c/4)^2=0 затем
(x-c/4)^2+9-(c/4)^2=0 далее (x-c/4)^2=(c/4)^2-9, отсюда имеем одно ограничение и два варианта решения:
(c/4)^2-9>=0, откуда (с/4)^2>=9 и затем с/4>=3 или с/4<=-3

1. x-c/4=корень ((c/4)^2-9), откуда x=корень ((c/4)^2-9)+c/4
2. x-c/4=-корень ((c/4)^2-9), откуда x=c/4-корень ((c/4)^2-9)

Наложим условие о том, что точка касания имеет отрицательные координаты, т. е. x<=0, тогда оба решения преобразуются в неравенства:

1. корень ((c/4)^2-9)+c/4<=0, откуда корень ((c/4)^2-9)<=-c/4, Так как корень всегда положителен, то возведем в квадрат, но учтем, что при этом "c" должно быть отрицательным, т. е. (c/4)^2-9<=(c/4)^2, где c<=0. Тогда первое решение принимает вид: -9<0 при c<=0, т. е. превращается в всегда верное соотношение. Накладывая полученное выше ограничение (с/4<=-3), получаем что одно из возможных решение - это с<=-12.
2. c/4-корень ((c/4)^2-9)<=0, откуда корень ((c/4)^2-9)>=c/4. Возведем в квадрат, но учтем, что при этом "c" должно быть положительным, т. е. (c/4)^2-9>=(c/4)^2, где c>=0. Тогда второе решение принимает вид: -9>0 при c>=0, т. е. получаем заведемо ложное соотношение. Следовательно второе решение не допустимо.

Таким образом, с<=-12. Так как прямая должгна только касаться гиперболы, то из данных значениц следует взять c=-12, так как при c<-12 прямая будет пересекать гиперболу в двух точках.

Ответ: с=-12.