Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А(2;-2;5), B(-2;1;4) и перпендикулярной плоскости 2x+3y-4z+2=0

Даны точки, через которые проходит плоскость π1:
А (2; -2; 5), B(-2; 1; 4)
Дано ур-ие плоскости π2, к которой перпендикулярна плоскость π1:
2x + 3y - 4z + 2 = 0
Нужно найти ур-ие плоскости π1.

Решение:
Нормаль плоскости π2 "n = (2; 3; -4)" будет перпендикулярна самой плоскости и параллельна плоскости π1
Возьмём произвольную точку M(x; y; z) ∈ π1
Тогда условие компланарности векторов задаёт уравнение плоскости π1:
(AM, AB, n) = 0 - по сути дела это смешанное произведение векторов.

AM = (x - 2; y + 2; z - 5)
AB = (-4; 3; -1)
n = (2; 3; -4)

Составляем определитель и решаем его по правилу треугольника:



(x - 2)*(-12) + (z - 5)*(-12) + (y + 2)*(-2) - (z - 5)*6 - (x - 2)*(-3) - (y + 2)*16 = 0
-12x + 24 - 12z + 60 - 2y - 4 - 6z + 30 + 3x - 6 - 16y - 32 = 0
-9x - 18y - 18z + 72 = 0 |*(-1)
9x + 18y + 18z - 72 = 0
Тогда уравнение плоскости π1 равно 9x + 18y + 18z - 72 = 0

Мы стояли на плоскости
с переменным углом отраженья,
Наблюдая закон,
приводящий пейзажи в движенье;
Б. Г.

Найдём вектор АВ, который принадлежит искомой плоскости
АВ = {-4;3;-1}

Найдём нормаль плоскости, которая перпендикулярна данной плоскости, но при этом параллельна искомой.

N=(A,B,C) = {2;3;-4}

Через векторное произведения N * AB найдём вектор перпендикулярный искомой плоскости, являющийся нормалью.

N x AB = {9;18;18}

9x+18y+18z+D=0

Имеем две точки, лежащие в плоскости, для проверки верности полученной плоскости, а также для нахождения D

А (2;-2;5), B(-2;1;4)

Подставляем:

18-36+90+D=0
D=-72

-18+18+72+D=0
D=-72

Как видим совпадают, отсюда уравнение плоскости:

9x+18y+18z-72=0 |можно разделить на 9
x+2y+2z-8=0