Здравствуйте. Подскажите пожалуйста, как решить логарифмическое неравенство?

log₂ (1 + Cos 4x) ≤ 1 + log_√2 (Sin x)

Преобразуем неравенство:
log₂ (1 + Cos 4x) ≤ log₂ 2 + 2log₂ (Sin x)
log₂ (1 + Cos 4x) ≤ log₂ 2 + log₂ Sin² x
log₂ (1 + Cos 4x) ≤ log₂ 2Sin² x

Неравенство будет равносильно системе неравенств:
{1 + Cos 4x ≤ 2Sin² x
{1 + Cos 4x >0
{Sin x >0

Применим формулу косинуса двойного угла, далее приведем первое неравенство системы к неравенству с модулем:
{2Cos² 2x ≤ 2Sin² x
{Cos 2x ≠ 0
{Sin x > 0

{ |Cos 2x| ≤ |Sin x|
{ x ≠ π/4 + πn/2, n ∈ Z
{ Sin x > 0

Так как Sin x > 0, то имеем право снять второй модуль:
{ |1 − 2Sin² x| ≤ Sin x
{ x ≠ π/4 + πn/2, n ∈ Z
{ Sin x > 0

{1 − 2Sin² x ≤ Sin x
{1 − 2Sin² x ≥ −Sin x
{x ≠ π/4 + πn/2, n ∈ Z
{Sin x > 0

{2Sin² x + Sin x − 1 ≥ 0
{2Sin² x − Sin x − 1 ≤ 0
{x ≠ π/4 + πn/2, n ∈ Z
{Sin x > 0

{ [Sin x ≤ −1
{ [Sin x ≥ 1/2
{ −1/2 ≤ Sin x ≤ 1
{ Sin x > 0
{ x ≠ π/4 + πn/2, n ∈ Z

{1/2 ≤ Sin x ≤ 1
{x ≠ π/4 + πn/2, n ∈ Z

Сделаем отбор на тригонометрической окружности:
{π/6 + 2πn ≤ x ≤ 5π/6 + 2πn, n ∈ Z
{x ≠ π/4 + 2πk, k ∈ Z
{x ≠ 3π/4 + 2πt, t ∈ Z

Ответ:
[π/6 + 2πn; π/4 + 2πn ) ∪ (π/4 + 2πn; 3π/4 + 2πn) ∪ (3π/4 + 2πn; 5π/6 + 2πn], где
n ∈ Z