Математика. При каких значениях параметра a сумма будет равна единицы хотя бы при одном значении x?

logₐ (Sin x + 2) + logₐ (Sin x + 3)

Оба логарифмы определены при x ∈ ℝ.

Логарифм произведение двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел.
Значит, сумма этих логарифмов будет равна:
logₐ (Sin x + 2) + logₐ (Sin x + 3) = logₐ (Sin x + 2)·(Sin x + 3)

Эта сумма будет равна единицы тогда, когда:
(Sin x + 2)·(Sin x + 3) = a

(Sin x + 2)·(Sin x + 3) — это квадратичная функция, рассмотрим её относительной новой переменной t = Sin x
f(t) = (t + 2)·(t + 3)

Так как квадратичная функция возрастает правее вершины t_в = −2,5 и −1 ≤ Sin x ≤ 1, то эта функция принимает значения от f(−1) до f(1), то есть от 2 до 12, а это значит, что решения уравнения существуют при a ∈ [2; 12]

Ответ: a ∈ [2; 12]

Как связана сумма и параметр а?

(sin(x)+2)(sin(x)+3)=a
подстановка t=sin(x)
t^2+5t+6-a=0
t = -2.5 (+-) sqrt(0.25+a)
-1 <= t <= 1

1.5 <= sqrt(0.25+a) <= 3.5
или
1.5 <= -sqrt(0.25+a) <= 3.5 - нет решений, так как корень >0

2.25 <= 0.25+a <= 12.25
2 <= a <= 12
Ответ: a принадлежит [2, 12]

х=0
а=6