Докажите, что при любых a и b хотя бы одно из уравнений x^2-2ax+ab=0 и x^2-2bx+ab=0 имеет решение.

Нужно выделять в обоих полные квадраты.
Первое уравнение записывается в виде: (х-а) ^2 = a^2 - a*b = a*(a-b)
Второе: (х-b)^2 = b^2 - a*b = b*(b-a)
Для того, чтобы эти уравнения имели решения, нужно, чтобы их правые части были неотрицательны.
Ну и рассматривай все возможные варианты:
a=b;
a > b, a > 0, b > 0;
a > b, a > 0, b < 0;
a > b, a < 0, b < 0;
a < b, a > 0, b > 0;
a < b; a < 0, b > 0;
a < b. a < 0, b < 0.
Элементарная проверка показывает, что во всех этих случаях правая часть хотя бы одного из уравнений неотрицательна, т. е. хотя бы одно из уравнений имеет решение.

Доказательство от противного. Предположим, что оба уравнения не имеют корней, т. е. дискриминанты отрицательные:
D1/4=a^2-ab<0, D2/4=b^2-ab<0.
Получили два неравенства:
a^2 < ab
b^2 < ab.
Левые части неотрицательные, следовательно, и правые тоже, можно перемножать:
a^2*b^2 < a^2*b^2.
Получили противоречие, => предположение неверно, => хотя бы одно из уравнений имеет решение. Доказано!

Приравнять надо первое ко второму. Далее сокращай. Ab уйдут, иксы в квадрате уйдут, умножаешь обе части на -1, остаётся у тебя 2ax=2bx. Делишь обе части на 2x. Получается А=В. Ч т д