А (4;-1); B(2;-4); С (0;-1); D(2;2). Доказать что ABCD-ромб

Данная фигура будет являться ромбом лишь в том случае, если все стороны ее равны, а диагонали - перпендикулярны!

Докажем это.
По данным точкам А (4;-1); B(2;-4); С (0;-1); D(2;2) найдем длины сторон данной фигуры.

Координаты вектора, определяющего каждую из сторон равны разности координат определяющих точек:

1). AB(2-4, -4 -(-1)) = AB(-2, -3), [AB]^2 = (-2)^2 + (-3)^2 = 4+9=13, [AB] = V13, где V - квадратный корень.
2). BC(0-2, -1 -(-4)) = BC(-2, 3), [BC]^2 = (-2)^2 +3^2 = 3+9 = 13, [BC] = V13,
3). CD(2 -0, 2 - (-1)) = CD(2, 3), [CD]^2 = 2^2 + 3^2 = 4 +9 = 13, [CD] = V13,
как видим, все стороны равны, найдем аналогично длины диагоналей, а из них - длины отрезков до точки пересечения диагоналей:
4). DA(4 -2, -1 - 2) = DA(2, -3), [DA]^2 = 2^2 + (-3)^2 = 2 +9 = 13.
5). AC(0 - 4, -1 - (-1)) = AC(-4, 0), [AC]^2 = (-4)^2 + 0^2 = 16, [AC] =V16 = 4.
5). [AO] = 0,5*[AC] = 0,5*4 = 2.
6). BD(2- 2, 2 - (-4)) = BD(0, 6), [BD]^2 = 0^2 + 6^2 = 36, [BD] = V36 = 6.
7). [BO] = 0,5*[BD] = 0,5*6 = 3.
Если данная фигура ромб, что диагонали его должны быть перпендикулярны, т. е. треугольник АОВ должен быть прямой. Докажем это. По теореме Пифагора имеем:
[AO]^2 + [BO]^2 = [AB]^2, подставив п. 5, п. 7 и п. 1, получим:
2^2 + 3^2 =( V13)^2, откуда 4 + 9 = 13, т. е выполняется тождество.

Это значит, что треугольник АОВ - прямоугольный.
Следовательно, диагонали перпендикулярны!

Итак, мы показали, что стороны все равны, а диагонали - перпендикулярны, следовательно, данная фигура является ромбом!..