Log x по основанию 3=(1/9)x^3 как решить уровнение (подробнее решение)

Обозначения: log(x;3) - логарифм x по основанию 3
Немного о функциях.
Данная логарифмическая функция монотонно возрастающая, так же как и данная степенная. Это нам мало что дает. В данном случае лучше всего исследовать разность заданных функций и определить, есть ли такая точка, где разность функций меняет знак или хотя бы угол наклона касательной.
Итак, исследуем функцию f(x)=log(x;3)-1/9*x^3
x принадлежит интервалу (0; +бесконечность) из области определения логарифмической функции.
Возьмем первую производную данной функции и определим, есть ли точки экстремума, сколько их, как себя ведет касательная при x>0
df(x)/dx=d(log(x;3)-1/9*x^3)/dx=1/(x*ln3) - 1/3*x^2
Приравниваем производную нулю и находим точки экстремума
при x>0
1/(x*ln3) - 1/3*x^2=0 ==> x^3=3/ln3 ==> x=(3/ln3)^(1/3)
Точка экстремума существует и она одна. Отсюда следует, что функция имеет единственный максимум (или минимум - сейчас мы это определим) в точке
x=(3/ln3)^(1/3)
Исследуемая функция f(x)=log(x;3)-1/9*x^3 при x стремящемся к (3/ln3)^(1/3) возрастает, т. к. производная при x<(3/ln3)^(1/3) больше нуля, в то же время при x>(3/ln3)^(1/3) убывает, т. к. производная при этих значения х меньше нуля. Следовательно точка экстремума является единственной точкой максимума. Вычислим значение исследуемой функции в этой точке максимума и если значение функции в ней будет меньше нуля, то решений у заданного уравнения нет, если больше 0, то данное равенство имеет 2 решения. Итак:
f((3/ln3)^(1/3))=log((3/ln3)^(1/3);3)-1/9*[(3/ln3)^(1/3)]^3=1/3[log(log(e^3;3);3) - log(e;3)]>0
Функция имеет 2 решения.
Автор ответа выше прав, для решения необходимо применять численные методы.

Решить это урАвнение можно только числеными методами. Но можно доказать, что решений будет ровно два (очень непросто).