при каких значениях параметра а уравнение 5/3x^3-5x-2=a имеет два корня?

Это уравнение эквивалентно следующему (после умножения на 3 и переноса а влево) :
5x^3 - 15x - 6 - 3a = 0
Можно найти производную функции y = 15x^2 - 15. Она равна нулю при x = +-1. Как легко видеть (коэффициент при x^3 положителен) , функция стремится к бесконечности при х стремящемся к бесконечности, т. е. при х <=-1 функция возрастает, при -1<=x<=1 - убывает, при x>=1 - возрастает.
Если значение функции при х = -1 равно нулю, то кубическая парабола касается оси абсцисс, и потом пересекает её в одной точке. Следовательно, исходное уравнение имеет два корня. Те же рассуждения справедливы и для х = 1: сначала функция возрастает, пересекает ось абсцисс в одной точке, потом убывает, касается оси и возрастает.
Следовательно уравнение имеет два корня тогда, когда f(x) = 5x^3 - 15x - 6 - 3a = 0 либо при х = -1, либо при х = 1.
В случае х = -1 получаем
f(-1) = -5 + 15 - 6 - 3a = 0, 4 - 3a = 0, a = 4/3
В случае х = - получаем
f(-1) = 5 - 15 - 6 - 3a = 0, -16 - 3a = 0, a = -16/3

Ответ: 4/3, -16/3