Решите sin^2(x)+sin^2(5x)=1 Объясните как решить

Можно воспользоваться формулой понижения степени синуса sin^2(x)=(1-cos(2x))/2.
Тогда получим уравнение cos(2x)+cos(10x)=0.
По формуле сумма косинусов получаем:
2cos(6x)*cos(4x)=0
Ответ: х=П/12+Пn/6, х=П/8+Пm/4; n,mєZ.

sin^2(x) + sin^2(5x) = 1

sin(5x) = sin(4x+х) = sin(4х) cos(x) + cos(4x)sin(x)

sin^2(5x) = (sin(4х) cos(x) + cos(4x)sin(x))^2 =
= sin^2(4х) cos^2(x) + 2*sin(4х) cos(x)cos(4x)sin(x)+ cos^2(4x)sin^2(x) =
= sin^2(4х) cos^2(x) + (2*sin(x)cos(x))*sin(4х) cos(4x)+ cos^2(4x)sin^2(x) =
= sin^2(4х) cos^2(x) + sin(2x)*sin(4х) cos(4x)+ cos^2(4x)sin^2(x)

sin^2(x) + sin^2(5x) = 1

sin^2(x) + sin^2(4х) cos^2(x) + sin(2x)*sin(4х) cos(4x) + cos^2(4x)sin^2(x) = 1

sin^2(4х) cos^2(x) + sin(2x)*sin(4х) cos(4x) + cos^2(4x)sin^2(x) = 1 - sin^2(x)

По основному тригонометрическому тождеству, меняем 1 - sin^2(x) на cos^2(x):

sin^2(4х) cos^2(x) + sin(2x)*sin(4х) cos(4x) + cos^2(4x)sin^2(x) = cos^2(x)

sin^2(4х) cos^2(x) - cos^2(x) + sin(2x)*sin(4х) cos(4x) + cos^2(4x)sin^2(x) = 0

cos^2(x)*(sin^2(4х) - 1) + sin(2x)*sin(4х) cos(4x) + cos^2(4x)sin^2(x) = 0

cos^2(x)*(sin^2(4х) - 1) = - sin(2x)*sin(4х) cos(4x) - cos^2(4x)sin^2(x)

cos^2(x)*(1 - sin^2(4х)) = sin(2x)*sin(4х) cos(4x) + cos^2(4x)sin^2(x)

По основному тригонометрическому тождеству, меняем 1 - sin^2(4х) на cos^2(4x):

cos^2(x)*cos^2(4x) = sin(2x)*sin(4х) cos(4x) + cos^2(4x)sin^2(x)

cos^2(x)*cos^2(4x) - cos^2(4x)sin^2(x) = sin(2x)*sin(4х) cos(4x)

cos^2(4x)*(cos^2(x) - sin^2(x)) = sin(2x)*sin(4х) cos(4x)

Так как cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x), то:

cos^2(4x)*cos(2x) = sin(2x)*sin(4х) cos(4x)

cos(4x)*cos(2x) = sin(2x)*sin(4х)

cos(4x) = (sin(2x)/cos(2x))*sin(4х)

cos(4x) = tg(2x)*sin(4х)

1 = tg(2x)*(sin(4х) /cos(4x))

1 = tg(2x)*tg(4х)

tg(2x)*tg(4х) = 1

Так как tg(4х) = 2tg(2х) /(1-tg^2(2х)), то:

tg(2x)*( 2tg(2х) /(1-tg^2(2х) ) = 1

2tg^2(2х) /(1-tg^2(2х) ) = 1

2tg^2(2х) = 1 - tg^2(2х)

tg^2(2х) + 2*tg^2(2х) = 1

3*tg^2(2х) = 1

tg^2(2х) = 1/3

tg(2х) = V(1/3) = 1/V3 = (V3)/3

2x = arctg((V3)/3)

2x = П/6 + Пn

x = П/12 + (П/2)n

sin^2(x)+sin^2(5x)=1 ---->sin^2(x)=1-sin^2(5x)=cos^2(5x) --->sin^2(x)/cos^2(5x)=1
---> (sinx/cos5x)^2=1 задача сводится к двум уравнениям
1) sin(x)/cos(5x)=1----> sinx=cos(5x)
2) sin(x)/cos(5x)=-1----> sinx=-cos(5x)
дальше сам