помогите решить cosx=-2

Действительных корней нет. Вам нужны комплексные корни?

Пустое множество. Косинус не бывает меньше -1

Помогите пожалуйста решить пример по ТФКП: cos(4z)=2
Роман Бычков Профи (725), Вопрос на голоcовании 5 лет назад
1 Нравится Подписаться Ответить
ГОЛОСОВАНИЕ ЗА ЛУЧШИЙ ОТВЕТ
Червяков Сергей 5 лет назад
Просветленный (29036)
Используем формулу
cos ζ = (e^(iζ) + e^(−iζ))/2;
если ζ = x+iy:
cos ζ = (eⁱˣ⁻ʸ + e⁻ⁱˣ⁺ʸ)/2 = [e⁻ʸ(cos x + i sin x) + eʸ(cos x − i sin x)]/2 =
= cos x (eʸ+e⁻ʸ)/2 − i sin x (eʸ−e⁻ʸ)/2 = cos x · ch y − i sin x · sh y
cos ζ = 2; приравниваем действительные и мнимые части в левой и правой частях:
{ cos x · ch y = 2;
{ sin x · sh y = 0.

Из второго уравнения получаем sin x = 0 либо sh y = 0
Второй вариант нас не устраивает, поскольку в этом случае y = 0 и из первого уравнения получаем cos x = 2, что невозможно.
Значит, sin x = 0; тогда cos x = ±1;
из первого уравнения, поскольку ch y > 0, получаем:
{ cos x = 1
{ ch y = 2
Значит, x = 2kπ, k∈ℤ;
y = arch 2 = ln(2+√(2²−1)) = ln(2+√3)

Итак, решением уравнения cos ζ = 2 является множество комплексных чисел {2kπ + i ln(2+√3)}; разделив на 4, получим множество решений исходного уравнения.

ОТВЕТ: z ∈ {kπ/2 + i ln(2+√3)/4}, k∈ℤ.